Gauß-Legendre Quadratur eines uneigentlichen Integrals

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30.03.2014, 12:25	LouisXIV	Auf diesen Beitrag antworten »
Gauß-Legendre Quadratur eines uneigentlichen Integrals Hallo! Ich versuche folgende Aufgabe zu lösen und bin mir nicht sicher, ob meine Lösung korrekt ist. "Man approximiere $\begin{eqnarray} \int_{0,5}^{\infty}xe^{-x^2}dx \end{eqnarray}$ durch Transformation $\begin{eqnarray} x=\frac 1{z} \end{eqnarray}$ und Anwendung der Gaußquadraturformel mit einem Knoten." Ich bin wie folgt vorgegangen: Anpassen der Grenzen durch Einsetzen: $\begin{eqnarray} \frac 1{0,5}=2<br /> \frac 1{\infty}=0 \end{eqnarray}$ Da sich die Grenzen gedreht haben, schreibe ich ein Minus vor mein Integral und passe es entsprechend an $\begin{eqnarray} x=\frac 1{z}<br /> dx=\frac {-1}{z^2}dz \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2} \frac 1{z^3}e^{- \frac 1{z^2}}dz \end{eqnarray}$ Die Gauß-Legendre-Quadratur mit einem Knoten bei $\begin{eqnarray} \frac 1{2} \end{eqnarray}$ hat das Gewicht $\begin{eqnarray} 1 \end{eqnarray}$ Meine Approximation lautete somit nach Einsetzen der Grenzen: $\begin{eqnarray} Q=0,1465 \end{eqnarray}$ Der Knackpunkt stellt für mich das angepasste Integral mit den Grenzen 0 und 2 dar. Alle meine Unterlagen zeigen Beispiele, bei denen die angepassten Grenzen 0 und 1 lauten. So wie ich das Thema verstehe, ist dies ebenfalls der Bereich für den die Hilfstabellen bezüglich Knoten und Gewichten definiert sind. Muss ich somit das Integral von 0 bis 2 noch auf den Bereich 0 bis 1 halbieren? Wenn dies der Fall ist, wie stelle ich das an? Vielen Dank!
30.03.2014, 12:43	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gauß-Legendre Quadratur eines uneigentlichen Integrals Das Integral ist korrekt substituiert. Es kommt allerdings jeweils etwa 0,3894 heraus.
30.03.2014, 13:26	LouisXIV	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie hast du den Wert mit dem von mir korrekt substituierten Integral berechnet? Ich habe die Quadraturformel so angewandt, wie ich es kenne, Gewicht * Integral(Knoten). Gerade dein Hinweis, "jeweils", lässt mich im Glauben, dass meine Vermutung, dass ich das Integral teilen muss nicht verkehrt ist? $\begin{eqnarray} 1\frac{1}{(\frac{1}{2})^{3}}e^{-\frac{1}{(\frac{1}{2})^{2}}}<br /> 18e^{-4}=0,1465 \end{eqnarray}$ edit(kgV-30.3-13.28): Latex geflickt
30.03.2014, 13:46	LouisXIV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe folgende weitere Lösungsidee: Da wir ein Interval von 0 bis 2 haben, sollte der eine vorhandene Knoten nicht wie in unserer Tabelle, welche scheinbar für einen Bereich von 0 bis 1 definiert ist, bei $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , sondern stattdessen bei 1 liegen. Wenn ich also statt $\begin{eqnarray} \frac{1}{2} \end{eqnarray}$ , 1 einsetze und dabei das Gewicht von 1 unangetastet lasse, da es sich weiterhin um nur einen Knoten handelt, erhalte ich $\begin{eqnarray} e^{-1} = 0,3679 \end{eqnarray}$
30.03.2014, 13:55	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich hab die Integrale (ohne ud mit Subst.) numerisch berechnet, aber nicht über Gauss Du hast aber einfach einen Funktionswert der substituierten Funktion eingesetzt, anstatt auf diese Funktion das Verfahren anzuwenden. (In dem Fall wäre x=1 geeigneter gewesen.)
30.03.2014, 14:29	LouisXIV	Auf diesen Beitrag antworten »
Erst einmal vielen Dank! Leider kann ich deinem letzten Beitrag nicht folgen. Mir ist klar, dass die exakte Lösung 0,3894 ist. Das Gauß-Legendre-Verfahren wurde in der Lehre nicht erklärt und taucht lediglich in wenigen Übungsaufgaben auf, an denen ich mich versuche entlang zu hangeln. Es wäre super, wenn du mir erklären würdest, in wiefern ich das Verfahren nicht bzw. falsch anwende. Ich habe mich an folgender Aufgabe und entsprechender Tabelle orientiert und versuche diese eben nun auf mein Problem mit abweichenden Integralsgrenzen anzuwenden. Man findet die beiden Bilder bei abload Punkt de unter /img/unbenanntr5a9o.png und /img/unbenannt2w4byc.png
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30.03.2014, 17:12	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Deinen vorletzten Beitrag habe ich erst jetzt gesehen. Da hast du ja schon mit x=1 experimentiert. Du musst einen kompletten Link posten bzw. die Bilder hier hineinstellen, da externe Links nicht geduldet werden. Das Problem ist: Die Substituierte Funktion (nebst neuer Grenzen) ist die Ausgangsfunktion. Nun versuchst du fälschlich, dort einen Funktionswert einzusetzen und als das gesuchte Integral zu verkaufen. Reines Glück, wenn das gelingt. In dem Verfahren musst die Funktion erst durch ein entsprechendes Polynom ersetzen. Da du das Verfahren anscheinend nicht anwenden kannst, mache ich den Thread mal auf für Leute, die viel Zeit und mehr praktische Erfahrung mit dem Verfahren haben als ich.
30.03.2014, 17:45	LouisXIV	Auf diesen Beitrag antworten »
[attach]33781[/attach] [attach]33782[/attach] edit von sulo: Grafiken als Dateianhang eingefügt, Links zu externem Host entfernt.
30.03.2014, 19:46	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Es scheint, dass du mit x=1 alles richtig gemacht hast. Die Gewichte bleiben ja unverändert und bei einer NSt des Legendre-Polynoms muss diese in der Intervallmitte liegen. Die Abweichung ist bei nur einer Stütze sicher normal. Edit: Übersehen: Beim Intervall der Standard-Größe 2 beträgt die Stütze w1=2. Damit würde sich das Ergebnis also verdoppeln und damit viel ungenauer. Stützen - klick Ich hab mal zum Vergleich die GL-Quadratur für 3 Stützen durchgeführt: f(z) = 1/z^3exp(-1/z^2) Int 0..2 P3 verschoben: 1/2(5(x-1)^3-3(x-1)) X1 = 1-1/5wurzel(15) X2 = 1 X3 = 1+1/5wurzel(15) --- Soll: 0.3894003915357027 --- $\begin{eqnarray} \frac{5}{9}\cdot \left(1-\frac{1}{5}\cdot \sqrt{15}\right)^{-3}\cdot e^{-\left(1-\frac{1}{5}\cdot \sqrt{15}\right)^{-2}} +\frac{ 8}{9}\cdot e^{-1} +\frac{ 5}{9}\cdot \left(1+\frac{1}{5}\cdot \sqrt{15}\right)^{-3}\cdot e^{-\left(1+\frac{1}{5}\cdot \sqrt{15}\right)^{-2}}=0.3993679791214336 \end{eqnarray*}$ Viel Aufwand für ein mickriges Ergebnis, aber die Richtung stimmt.
31.03.2014, 10:16	LouisXIV	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich habe gesagt bekommen, die Summe der Gewichte ergäbe stets 1, was deckungsgleich mit der von mir geposteten Tabelle ist. Darin entsprechen ci den Stützstellen/Knoten und wi den Gewichten. Wie genau sollte es möglich sein, dass ein Randpunkt einer Stützstelle entspricht? Ich verstehe es momentan so, dass die der Tabelle zugrunde liegenden Daten auf einem Intervall der Breite 1 definiert sind, während die gebräuchliche Definition ein Intervall von 2 vorsieht. Heißt, ich muss die Summe der Gewichte stets der Intervallbreite gleichsetzen und die Stützstelle, im Fall eines Verfahrens mit nur einem Knoten, in die Mitte des Intervalls setzen und diese beiden "neuen" Werte nutzen um meine Approximation zu bestimmen? Sprich, im konkreten Fall dieser Aufgabe, GewichtFunktion(Stützstelle) = 2e^(-1) = 0,7357588823 Wie kommst du auf das verschobene Polynom und darauß (?) die Knoten/Nullstellen?
31.03.2014, 11:10	thk	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Standard-Polynom für 3 Stützen lautet P3(x) = 1/2(5x^3-3x) und ist definiert für das Intervall [-1 ;1]. P3(x-1) ist es dann für [0 ; 2]. Davon müssen die NSt bestimmt und mit den Gewichten mult. werden. Bei ungerader Zahl ist eine NST in der Intervallmitte. Und ja, die Gewichtssumme muss an die Intervallbreite angepasst werden (=1 bei Breite 1). Daher I=2*e^-1

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