Kreise im gleichseitigen Dreieck

31.03.2014, 09:54

Egaus

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Kreise im gleichseitigen Dreieck

Hallo,
Gleichseitiges Dreieck mit Seite 1. Aus jeder Ecke wird auf die gegenüberliegende Seite eine Gerade gezogen, die NICHT auf dem Mittelpunkt der Seite endet. Es entsteht ein gleichseitiges Dreieck in der Mitte und 3 stumpfwinklige Dreiecke. Die Aufgabe: Der Radius des Innenkreises des Mittendreieckes soll doppelt so groß sein, wie der Radius der Innenkreise der stumpfwinkligen Dreiecke.
Mein Ansatz: mit x den Abstand von A bis zur Schnittstelle von 0,4 bis 0,2 setzen und mit Winkelfunktion rechnen.
Gruß, Egaus

31.03.2014, 11:50

Fazer

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verwirrt

Wo soll ein gleichseitiges Dreieck entstehen? Glaube nicht, dass man das so allgemein sagen kann.

31.03.2014, 14:24

riwe

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ich male ein bilderl dazu Augenzwinkern

Augenzwinkern

frage: was soll denn berechnet oder konstruiert werden, die seite 1 verwirrt

verwirrt

edit: die "Rest3ecke" sind leider spitzwinkelig unglücklich

unglücklich

31.03.2014, 15:46

Leopold

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Ich vermute eher, daß das hier gemeint ist:

[attach]33789[/attach]

wobei natürlich die Strecken $\begin{eqnarray*} AC', BA', CB' \end{eqnarray*}$ gleich lang sein sollen.

Auf jeden Fall ist die Aufgabe miserabel formuliert.

31.03.2014, 16:25

riwe

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oder doch so verwirrt

verwirrt

31.03.2014, 16:42

Egaus

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genau so ist es gemeint!
Weiter soll in Dreieck B"A"C" der Inkreis gezeichnet werden. Ebenso in Dreieck
AC"B. Der Inkreis des ersten Dreieckes(B"A"C") soll doppelt so groß sein, wie der des Dreieckes AC"B. Die Strecke AC'(oder BA', oder CB') soll so ermittelt werden, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden.
Lehrer

Lehrer

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31.03.2014, 17:10

Bürgi

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Guten Tag

Zitat:

genau so ist es gemeint!

also nicht so?

Zitat:

Aus jeder Ecke wird auf die gegenüberliegende Seite eine Gerade gezogen, die NICHT auf dem Mittelpunkt der Seite endet.

Wenn ich den Originalaufgabentext richtig verstehe, kann man auch diese Anordnung
[attach]33791[/attach]
der Graden nehmen. Dann ist halt nur die Frage, welches der stumpfwinkligen Dreiecke gemeint ist.

31.03.2014, 17:12

riwe

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Zitat:

Original von Egaus
genau so ist es gemeint!
Weiter soll in Dreieck B"A"C" der Inkreis gezeichnet werden. Ebenso in Dreieck
AC"B. Der Inkreis des ersten Dreieckes(B"A"C") soll doppelt so groß sein, wie der des Dreieckes AC"B. Die Strecke AC'(oder BA', oder CB') soll so ermittelt werden, dass die gestellten Bedingungen erfüllt werden.
Lehrer

Lehrer

tut es ja

Augenzwinkern

31.03.2014, 18:51

Egaus

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Hallo Bürgi,
der weiße und der grüne Bereich sind stimmig. Insgesamt sind es 4 Kreise. Der graue Bereich stimmt nicht!
Egaus

31.03.2014, 19:20

Egaus

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[attach]33793[/attach]ein Bild sagt mehr als 1000 Worte...

31.03.2014, 20:40

riwe

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man könnte auch den Beitrag von Leopold lesen geschockt

geschockt

so wie du herumzappelst, eine Frage: welcher Wettbewerb ist denn das verwirrt

verwirrt

01.04.2014, 11:08

Egaus

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möchtest du das wirklich wissen? Wahrscheinlich hast du Manchem die Freude an einer schönen Aufgabe vermasselt!
Ich hab das jetzt selber lösen können. Mach weiter so!
Vielen Dank an die anderen Helfer!
Egaus

01.04.2014, 11:28

riwe

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Zitat:

Original von Egaus
möchtest du das wirklich wissen? Wahrscheinlich hast du Manchem die Freude an einer schönen Aufgabe vermasselt!
Ich hab das jetzt selber lösen können. Mach weiter so!
Vielen Dank an die anderen Helfer!
Egaus

Kommentar überflüssig

01.04.2014, 11:31

sulo

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@Egaus
Warum sollte riwe jemandem die Freude an der Aufgabe vermasselt haben? Mir jedenfalls mit Sicherheit nicht.
Davon abgesehen hat er schon mehrfach sein hervorragendes Gespür für Wettbewerbsaufgaben, für die hier entgegen der Wettbewerbsbedingungen um Hilfe gebeten wurde, bewiesen. Leider tauchen solche Aufgaben hier im Board nämlich immer wieder auf.
Auch die vorliegende Aufgabe weist mehrere Merkmale auf, die auf eine Wettbewerbsaufgabe hinweisen, daher ist die Frage von riwe durchaus berechtigt.

01.04.2014, 17:03

Leopold

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In meiner Figur sei

$\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ die Länge der Strecke $\begin{eqnarray*} AC' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der Radius des Inkreises des gleichseitigen Dreiecks $\begin{eqnarray*} A''B''C'' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ der Radius des Inkreises des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABC'' \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \varrho \end{eqnarray*}$ der Radius des Inkreises des Dreiecks $\begin{eqnarray*} ABA' \end{eqnarray*}$

Aus Symmetriegründen genügt es, $\begin{eqnarray*} 0<x<0{,}5 \end{eqnarray*}$ zu betrachten.

$\begin{eqnarray*} R = 2r \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Lösung der quadratischen Gleichung $\begin{eqnarray*} 32x^2 - 56x + 11 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{8} \cdot \left( 7 - 3 \sqrt{3} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} R = 2 \varrho \end{eqnarray*}$
Dann ist $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ Lösung der kubischen Gleichung $\begin{eqnarray*} 20x^3 - 28x^2 + 28x - 5 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x = \frac{1}{30} \left( 14 + \sqrt[3]{405 \sqrt{113} - 2701} - \sqrt[3]{405 \sqrt{113} + 2701} \right) \end{eqnarray*}$

02.04.2014, 14:35

riwe

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und letztlich, wenn das Dreieck AC´B´´ gemeint sein sollte:

$\begin{eqnarray*} x\approx 0.342057 \end{eqnarray*}$

02.04.2014, 16:41

Leopold

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... als Lösung der kubischen Gleichung $\begin{eqnarray*} 20x^3 + 8x^2 - 8x + 1 = 0 \end{eqnarray*}$

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