Automorphismengruppe, surjektiv vorausgesetzt oder immer erfüllt?

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Duude Auf diesen Beitrag antworten »
Automorphismengruppe, surjektiv vorausgesetzt oder immer erfüllt?
Hallo zusammen,
ich bin mittlerweile bei der Körpertheorie angenommen und habe eine Frage zur Automorphismengruppe.

Sei L eine Körpererweiterung von K. G die Automorphismengruppe, die die Nullstellen in der Körpererweiterung permutiert.

Meine Frage: Wir brauchen ja hier einen bijektiven Homomorphismus auf sich selbst.
Ein Ringhomomorphismus zwischen Körpern ist ja immer injektiv, sodass ich das nicht explizit fordern muss.

Gilt entsprechendes automatisch auch für surjektiv, oder muss ich das fordern?

In endlichen Körpern folgt die Surjektivität aus der Injektivität (da L gleich viele Elemente wie L hat), aber was ist bei unendlichen Körpern?

Lg Duude
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Automorphismengruppe, surjektiv vorausgesetzt oder immer erfüllt?
hallo,
ein automorphismus ist immer bijektiv (also injektiv und surjektiv), sowohl
bei endlichen als auch bei unendlichen körpern.
gruss ollie3
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist mir klar.

Heißt das, dass ich surjektiv einfach fordere?

Die Frage ergibt sich bei mir, weil ich injektiv ja nicht fordern muss (da es sich automatisch aus dem Homomorphismus ergibt) und ich mir jetzt überlege, ob ich surjektiv wirklich fordern muss... (oder auch das automatisch gilt)
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
...nein, das gilt automatisch, ein automorphismus ist schon per definition
eine bijektive abbildung, ein homomorphismus nicht, bei einem homomorphismus
müssen die beiden betrachteten objekte nicht automatisch gleich viel elemente
haben...
gruss ollie3
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

ich bin mir nicht sicher, ob du mich richtig verstanden hast, bzw. meine Frage war vllt etwas unklar formuliert. Was du sagst ist mir alles klar. Mir geht es aber um den Spezialfall eines injektiven Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern mit gleich vielen Elementen. Also:


Angenommen wir haben einen Ringhomomorphismus zwischen zwei Körpern L.

In der Vorlesung haben wir gezeigt: Dieser ist automatisch injektiv.

Meine Frage: ist ein Homomorphismus zwischen zwei gleichen Körpern L automatisch surjektiv?
(falls L endlich ist, folgt surjektiv hier aus injektiv. Was ist wenn L nicht endlich ist?)
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das gilt im Allgemeinen nicht.

Aber wenn z.B. eine algebraische Erweiterung ist, so ist tatsächlich jedes Element aus automatisch surjektiv und damit ein Element von .
 
 
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

super, danke smile Das beantwortet meine Frage.

Es gibt also Fälle, in denen man die Surjektivität nicht explizit fordern muss, da sie sowieso erfüllt ist - z.B. bei algebraischen Erweiterungen. Also insbesondere auch bei endlichen Körpererweiterungen.

Im Allgemeinen folgt die Surjektivität aber nicht aus den anderen gegebenen Voraussetzungen, sodass sie zu fordern ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Duude
Also insbesondere auch bei endlichen Körpererweiterungen.


Das hört sich etwas komisch an. Erstmal hat man ja nur ein Homomorphismus zwischen dem selben Körper.

Mit dem richtigen Kontext lautet der Satz so:

Ist ein Homomorphismus von Körpern so, dass endlich über dem Fixkörper ist, dann ist der Homomorphismus automatisch surjektiv.

Das ist ganz einfach einzusehen, weil die Abbildung dann auch ein -Vektorraumhomomorphismus zwischen endlichdimensionalen -Vektorräumen ist. Also folgt aus der Injektivität die Surjektivität.

Im Kontext der endlichen Galoistheorie ist dieser Satz immer anwendbar.
Duude Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, so hatte ich es gemeint bzw. mir vorgestellt. Danke für die schöne Formulierung. Ich habe das selber leider nicht so schön präzise hinbekommen...
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