Galoisgruppe: irreduzibles Polynom notwendig? |
| 02.04.2014, 12:34 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Galoisgruppe: irreduzibles Polynom notwendig? wenn ich die Galoisgruppe Gal(f, Q) berechnen möchte, muss dann f über Q[X] irreduzibel sein? Wir hatten das in der Vorlesung nicht aufgeschrieben, ich glaube aber, dass es einfach vergessen wurde.. Denn wenn ich ein Polynom nehme, welches in Q[X] reduzibel ist, könnte ich zwei Faktoren erhalten, zwischen denen ich mich entscheiden muss oder Nullstellen fallen raus, weil sie schon in Q sind. z.B. Bei ist die Nullstelle x=1 ja schon in Q. Also wären im Erweiterungskörper nur noch zwei Nullstellen (i und -i) und damit wäre die Körpererweiterung vom Grad 2 und das Minimalpolynom x²-1. Also hätte ich ja gleich das nehmen können. Liege ich da richtig? lg Duude |
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| 02.04.2014, 13:01 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Galoisgruppe: irreduzibles Polynom notwendig? hallo, also du meinst natürlich x^3 - x^2 + x -1=(x^2+1)(x -1), und ansonsten hast du recht, der zerfällungskörper über Q ist hier Q(i) , das minimalpolynom ist x^2+1, die erweiterung hat den grad 2 und die galoisgruppe wäre hier S_2, also nur eine untergruppe von S_3. gruss ollie3 |
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| 03.04.2014, 10:28 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, meinte ich.. hab mich vertippt. Das heißt, um die Galoisgruppe eines Polynoms f über Q zu berechnen, muss f über Q nicht notwendigerweise irreduzibel sein? Wenn ich das jetzt richtig verstanden habe müsste gelten: Nur wenn f irreduzibel ist, habe ich die Möglichkeit, dass Aut(L,K) isomorph zur ist, wenn n der Grad des Polynoms ist. Ist f reduzibel über Q, so ist Aut(L,K) stets isormoph zu einer ECHTEN Untergruppe der . Richtig? |
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| 03.04.2014, 10:52 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » |
hallo, ja, ich glaube, das ist genau richtig. 
gruss ollie3 |
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| 03.04.2014, 14:40 | Duude | Auf diesen Beitrag antworten » |
super, dankeschön 
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