Schnittmenge Vielfachmenge = KgV

03.04.2014, 11:43	Vazrael	Auf diesen Beitrag antworten »
Schnittmenge Vielfachmenge = KgV Hallo, zu zeigen ist $\begin{eqnarray} a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} = kgV(a,b)\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ Für den Beweis brauche ich etwas Hilfe Meine Beweisidee: Sei kgV(a,b) = f. 1) Beachte dass gilt $\begin{eqnarray} a\|b <=> b \in a\mathbb{Z} <=> b\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ 2) Zeige "<=" $\begin{eqnarray} a\|f, b\|f \rightarrow f \in a\mathbb{Z}, f \in b\mathbb{Z} \rightarrow f\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z}, f\mathbb{Z} \subseteq b\mathbb{Z} \rightarrow f\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ . 3) Zeige "=>" ??? Oder kann man das mit Primfaktorzerlegungen machen?
03.04.2014, 15:42	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst also noch zeigen, dass $\begin{eqnarray} a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z}\subseteq \operatorname{kgV}(a,b)\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ist. Nimm dazu ein beliebiges Element aus $\begin{eqnarray} a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und zeige, dass dieses Element auch in $\begin{eqnarray} \operatorname{kgV}(a,b)\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ liegt: Sei $\begin{eqnarray} c\in a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ ... Edit: Übrigens reicht dein Beweis zu $\begin{eqnarray} \operatorname{kgV}(a,b)\mathbb{Z}\subseteq a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ noch nicht. Denn aus $\begin{eqnarray} f\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z}, f\mathbb{Z} \subseteq b\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ folgt nicht automatisch $\begin{eqnarray} f\mathbb{Z} \subseteq a\mathbb{Z} \cap b\mathbb{Z} . \end{eqnarray}$ Du könntest hier aber genauso vorgehen wie oben. Nimm ein Element aus $\begin{eqnarray} \operatorname{kgV}(a,b)\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ und zeige, dass es in $\begin{eqnarray} a\mathbb{Z}\cap b\mathbb{Z} \end{eqnarray}$ liegt.
07.04.2014, 09:26	Vazrael	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Zum Beispiel so? "=>" $\begin{eqnarray} k \in aZ \cap bZ \rightarrow a\|k, b\|k \rightarrow kgV(a,b)\|k \rightarrow k \in kgV(a,b)Z \rightarrow aZ \cap bZ \subseteq kgV(a,b)Z \end{eqnarray}$ . Und "<=" $\begin{eqnarray} a\|kgv(a,b) \rightarrow kgv(a,b) \in aZ \end{eqnarray}$ und analog dazu $\begin{eqnarray} b\|kgV(a,b) \rightarrow kgV(a,b) \in bZ \end{eqnarray}$ . Dann folgt $\begin{eqnarray} kgV(a,b) \in aZ \cap bZ \end{eqnarray}$ und schließlich $\begin{eqnarray} kgV(a,b)Z \subseteq aZ \cap bZ \end{eqnarray}$ .
07.04.2014, 16:46	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Müsste so stimmen.

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