mittlere Geschwindigkeit per Integration

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12.08.2004, 20:02	PSM	Auf diesen Beitrag antworten »
mittlere Geschwindigkeit per Integration Hallo! Ich habe mir folgende Aufgabe gestellt: Ein Auto habe zu bestimmten Zeitpunkten t eine bestimmte Geschwindigkeit v: v(t)=t²a; wobei a=1 m/s³ Nun möchte ich berechnen, welchen Weg das Auto nach t=3 s seit t0= 0 s zurückgelegt hat. Das habe ich wie folgt gemacht: $\begin{eqnarray} s= \int_{0}^{3}~t^2~dt = [\frac{t^3}{3}]_{0}^3 \end{eqnarray}$ Nun muss man für t zuerst 3 einsetzen (die 0 brauche ich nicht einsetzen, da der Term dann 0 wird). Somit erhält man s=9 Meter. Die mittlere Geschwindigkeit des Autos bis 3 s ist $\begin{eqnarray} v_m = \frac{9 Meter}{3 sek} = 3 m/s \end{eqnarray*}$ Ich finde diese Berechnung recht umständlich und frage mich jetzt, ob man die mittlere Geschwindgkeit v_m schneller (vielleicht sogar einfacher) ausrechnen kann. Außerdem bitte ich um eine Überprüfung meiner Berchnung, denn mit der Integralrechnung komme ich nicht immer zurecht. Für jede Antwort bin ich dankbar! MfG Patrick
12.08.2004, 20:16	mathemaduenn	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo PSM, Die Rechnung stimmt. Dein Ansatz ist aber mMn etwas unrealistisch. Ein Auto das nach 3 Sek. ca. 40km/h fährt und nach 5 Sek. 100 nach 7 Sek. 200km/h. gruß mathemaduenn
12.08.2004, 21:10	Mathespezialschüler	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi PSM, ich hab letzens auch nur diese Methode gesehen. Ich kenn keine andere. Du kannst es aber verallgemeinern, wenn du den Durchschnittswert einer Funktion f in [a;b] berechnen möchtest, dann geht das mit $\begin{eqnarray} \frac{\int_{a}^{b}~f(x)~dx }{b-a} \end{eqnarray}$ und hier hast du halt nen wichtigen Spezialfall, die Durchschnittsgeschwindigkeit.
13.08.2004, 08:49	PSM	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für eure Antworten! @ mathemaduenn: auf realistische Werte habe ich nicht geachtet. Es ging mir nur um die Berechnung. @ Mathespezialschüler: Deine Formel ist eigentlich nichts anderes als $\begin{eqnarray} v_m=\frac{ds}{dt} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} s=\int_{t1}^{t2}~v(t)~dt \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} dt=t_2-t_1 \end{eqnarray}$ . Also komme ich nicht um ein Integral herum. MfG Patrick
13.08.2004, 12:05	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann bekommst du einmal eine etwas realistischere Aufgabe: Ein Auto bewegt sich geradlinig. Zur Zeit t mit $\begin{eqnarray} 0 \ s \leq t \leq 40 \ s \end{eqnarray}$ hat es die Geschwindigkeit $\begin{eqnarray} v=\alpha t^3 - \beta t^4 \end{eqnarray}$ mit den Konstanten $\begin{eqnarray} \alpha=0,008 \ \frac{m}{s^4} \ , \ \ \beta=0,0002 \ \frac{m}{s^5} \end{eqnarray}$ Beantworte die folgenden Fragen: a) Wann erreicht es im Zeitraum die größte Geschwindigkeit? Wie groß ist diese in km/h? b) Zu welchem Zeitpunkt erfährt das Auto die größte Beschleunigung? c) Welche Strecke legt das Auto in den 40 Sekunden zurück? Wie groß ist also seine durchschnittliche Geschwindigkeit in km/h? d) In welchem Zeitraum wird das Auto abgebremst? Wie lang ist der Bremsweg? e) In der Fahrschule lernt man als Faustregel für den Bremsweg bei einer Vollbremsung unter normalen Straßenverhältnissen: Zahl der Tachoanzeige durch 10 teilen, dann Ergebnis mit sich selber malnehmen ergibt den Bremsweg in Metern. Kann man bei Zugrundelegung dieser Faustregel in d) von einer Vollbremsung ausgehen?
13.08.2004, 16:54	PSM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Leopold, die Aufgaben sind gemein! Auf Anhieb kann ich nur die Aufgabe c) (zumindest hoffe ich das). Bei den anderen Aufgaben muss ich etwas länger nachdenken. c) $\begin{eqnarray} s=[0,002t^4-0,00004t^5]_{0}^{40} = 1024m \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} v_m=\frac{1024m}{40s}= 25,6 m/s = 92,16 km/h \end{eqnarray}$ a) etwa nach 30 s: Geschwindigkeit 194 km/h d) ab 30 sek wird abgebremst => $\begin{eqnarray} s_b= [0,002t^4-0,00004t^5]_{30}^{40} = 1024m-648m = 376 m \end{eqnarray}$ e) ja: Ich habe (194 km/h:10)² ~ 376 m Bei b) habe ich leider keine Ahnung! Und, wieviel ist falsch? MfG Patrick p.s.: wann bekomme ich das in Mathe?? Ich habe jetzt schon Angst.
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13.08.2004, 17:05	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat b) nicht etwas mit dem Anstieg der ersten Ableitung zu tun... Also 2.Ableitung versuchen PSM, nur Mut. Ansonsten siehts doch gut aus (Nur in Latex hinter das Hochzeichen bitte eine geschweifte Klammer, damit die 0 von der 40 auch nach oben kommt ) Danke, sieht doch schicker aus... Keine Angst. Guck mal Funktion und die ersten beiden Ableitungen:
13.08.2004, 17:42	PSM	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Jan, ist wirklich alles richtig? Ich war mir relativ unsicher; außer bei Aufgabe c). zu b) diese Aufgabe habe ich auch mit einer Wertetabelle gelöst. Mit $\begin{eqnarray} a=\frac{dv}{dt} \end{eqnarray}$ habe ich die Beschleunigung a berechnet. a ist bei mir zwischen 15 und 20 sek. am größten. Doch der Zeitpunkt mit der gößten Beschleunigung liegt selbst bei etwa 27,5 sek, oder? Puh ist das schwer. MfG Patrick
13.08.2004, 17:54	kurellajunior	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Patrick, Ich habs nicht mit dem Taschenrechner geprüft, bin davon ausgegangen, dass Du den beherrschst . a) nicht nach etwa 30s sondern nach 30 s: $\begin{eqnarray} v'=0,024\cdot x^2-0,0008\cdot x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 0=0,024\cdot x^2-0,0008\cdot x^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x=0 \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} x=\frac{0,024}{0,0008}=30 \end{eqnarray}$ Die erste Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit ist die Beschleunigung. Um das Maximum der Beschleunigung zu ermitteln musst du also die erste Ableitung der Beschleunigung (nach der Zeit) oder die zweite Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit betrachten. Versuchs mal.

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