Hemden: Fortsetzung

06.04.2014, 16:42

Bonheur

Hemden: Fortsetzung

Ein Hemdenfabrikant hat seinen Großabnehmern vertraglich zugesichert, dass nur 2 % seiner Hemden Mängel aufweisen. Fabrikinterne Kontrollen zeigen, dass dieser Standard normalerweise eingehalten wird.

d) Ein Großabnehmer erhält eine Lieferung von 800 Hemden, die glücklicherweise noch produziert wurden, als die Fehlerquote bei 2 % lag.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass in dieser Lieferung höchstens 20 mangelhafte Hemden sind. Ermitteln Sie, von welcher Anzahl K an die Wahrscheinlichkeit dafür, dass höchstens K von den 800 Hemden Mängel haben, mindestens 90 % beträgt.

e) Der Großabnehmer bietet die 800 Hemden zum regulären Preis von 39,90 € an.
Einen Monat vor der Umstellung auf die neue Kollektion sind 650 Hemden verkauft Erfahrungsgemäß verkauft er bis zur Umstellung auf die neue Kollektion noch 40 % der restlichen Ware zum regulären Preis. Wird die Restware als Sonderangebot für 24,90 € angeboten,können erfahrungsgemäß 70 % der Restware verkauft werden. Prüfen Sie, welches Verfahren günstiger ist.
Der Großabnehmer entscheidet sich dafür, die restlichen 150 Hemden als Sonderangebot anzubieten. Er verkauft daraufhin 110 der restlichen 150 Hemden.
Ermitteln Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit er mit dem regulären Preis einen höheren Ertrag erzielt hätte, wenn jedes der restlichen 150 Hemden mit einer Wahrscheinlichkeit von 40 % verkaut worden wäre.

Idee:

Leider habe ich überhaupt keine Idee und dass kommt nicht oft. Big Laugh

Vielen Dank

08.04.2014, 15:04

Math1986

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RE: Hemden: Fortsetzung
Nimm mal an dass die Fehlerquote bei 2% liegt. Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, aus 800 Hemden höchstens 20 mangelhafte Hemden zu ziehen?

08.04.2014, 15:11

Bonheur

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Dann wäre mein Ereignis: "Anzahl der Hemden mit Mängeln".

Wir haben insgesamt 800 Hemden und die Fehlerquote liegt bei 2 %.

Ich würde, dass mit der Formel der Binomialverteilung machen.

Stimmt dieser Gedanke ?

08.04.2014, 15:14

Math1986

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Ja, das ist der richtige Ansatz.

08.04.2014, 15:21

Bonheur

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Es folgt:

$\begin{eqnarray*} P(x=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

n=800
k=20
p=0,2
1-p=0,98

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow P(x=k)=\begin{pmatrix} 800 \\ 20 \end{pmatrix} \cdot 0,2^{20} \cdot (1-0,2)^{800-20} \end{eqnarray*}$

Wie soll ich diesen Binomialkoeffizienten lösen ? Big Laugh

08.04.2014, 15:24

Math1986

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Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit für höchstens 20 mangelhafte Hemden. Du musst also noch entsprechend summieren.

Und ja, das wird mit dem Taschenrechner nicht funktionieren, du kannst das aber durch die Poissonverteilung annähren.

08.04.2014, 15:29

Bonheur

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Was muss ich summieren ?

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 20) \end{eqnarray*}$ muss dieser Ausdruck vor die Gleichung ?

Ich habe noch nie etwas von der Poissonverteilung gehört. Ich habe etwas von Moivre-Laplace gehört.

Aber angewendet habe ich beides noch nicht.

08.04.2014, 15:32

Math1986

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Zitat:

Original von Bonheur
Was muss ich summieren ?

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 20) \end{eqnarray*}$ muss dieser Ausdruck vor die Gleichung ?

Das ist zu berechnen. Du musst deinen obigen Ausdruck also von 0 bis 20 fehlerhaften Hemden summieren.

Zitat:

Original von Bonheur
Ich habe noch nie etwas von der Poissonverteilung gehört. Ich habe etwas von Moivre-Laplace gehört.

Aber angewendet habe ich beides noch nicht.

Der zetrale Grenzwertsatz von Moivre-Laplace hilft da auch weiter. Schau dir den nochmal an.

08.04.2014, 16:28

Bonheur

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$\begin{eqnarray*} P(X\leq k) \approx \Phi\left( \frac{k+0.5-\mu}{\sigma} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mu=p \cdot n \Rightarrow \mu=0,02 \cdot 800=16 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v(x)=n \cdot p(1-p) \Rightarrow v(x)=16(1-0,02)=15,68 > 9 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \sigma = \sqrt{np(1-p)} \Rightarrow \sigma=\sqrt{16}=3,96 \end{eqnarray*}$

Wieso muss der Wert größer neun sein, damit man die Laplace-Formel anwenden kann ? smile

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 20) \approx \Phi\left( \frac{20+0.5-16}{3,96} \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Phi \end{eqnarray*}$ kenne ich von Physik. Der magnetische Fluss Big Laugh

Hat das was damit zu tun ?

08.04.2014, 16:35

Math1986

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Gemeint ist hier die Standardnormalverteilung, deren Wert du in Tabellen nachschlagen musst.

08.04.2014, 16:40

Bonheur

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Alles klar.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 20) = \Phi\left( \frac{20+0.5-16}{3,96} \right) \approx \Phi\left(1,14\right) \approx 0,8729 \approx 87 % \end{eqnarray*}$

so?

Eines habe ich noch nicht verstanden und zwar dass mit der Summe. unglücklich

Könntest du dass erläutern. Das wäre sehr nett von dir.

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 20)=\begin{pmatrix} 800 \\ 20 \end{pmatrix} \cdot 0,2^{20} \cdot (1-0,2)^{800-20} \end{eqnarray*}$

08.04.2014, 16:49

Math1986

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Zitat:

Original von Bonheur
Alles klar.

$\begin{eqnarray*} P(X\leq 20) = \Phi\left( \frac{20+0.5-16}{3,96} \right) \approx \Phi\left(1,14\right) \approx 0,8729 \approx 87 % \end{eqnarray*}$

so?

Eines habe ich noch nicht verstanden und zwar dass mit der Summe. unglücklich

Könntest du dass erläutern. Das wäre sehr nett von dir.

$\begin{eqnarray*} P(X \leq 20)=\begin{pmatrix} 800 \\ 20 \end{pmatrix} \cdot 0,2^{20} \cdot (1-0,2)^{800-20} \end{eqnarray*}$

Gemeint ist wohl 0,02.
Diese Standardnormalverteilung (oben) approximiert dir den Wert der kommulierten Binomialverteilung (unten).

08.04.2014, 17:03

Bonheur

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Alles klar.

Zur anderen Teilaufgabe, habe ich mir folgenden Ansatz überlegt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{l} \begin{pmatrix} 800 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,02^{20} \cdot (1-0,02)^{800-20} \geq 0,9 \end{eqnarray*}$

10.04.2014, 14:31

Math1986

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Zitat:

Original von Bonheur
Alles klar.

Zur anderen Teilaufgabe, habe ich mir folgenden Ansatz überlegt:

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{l} \begin{pmatrix} 800 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,02^{20} \cdot (1-0,02)^{800-20} \geq 0,9 \end{eqnarray*}$

Nicht ganz. Du summierst ja von 0 bis K, d.h. den K muss in den oberen Summationsindex:
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^K \begin{pmatrix} 800 \\ k \end{pmatrix} \cdot 0,02^{20} \cdot (1-0,02)^{800-20} \geq 0,9 \end{eqnarray*}$
Oder ist bei dir l=K?

Das ist so aber auch nicht auflösbar, da musst du schon wie oben eine Approximation verwenden.

10.04.2014, 21:59

Bonheur

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Alles klar.

Vielen Dank.

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