Kurvendiskussion - Steckbriefaufgabe / Integral

06.04.2014, 20:22

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Kurvendiskussion - Steckbriefaufgabe / Integral

Gegeben ist folgende Funktion 3. Grades.

f(x)= 1/3 (-4x³-12x²+8)

e)
Die ganzrationale Funktion g(x) dritten Grades hat an der Wendestelle WP der Funktion f(x) eine dreifache Nullstelle. Weiterhin hat die Funktion g(x) den Punkt
(1 ; y) mit der Funktion f(x) gemeinsam.
Berechnen sie die Funktion g(x).

f)
Die Graphen f(x) und g(x) begrenzen ein Flächenstück in dem Intervall -1 und 1.
Berechnen Sie die exakten Schnittpunkte und berechnen Sie die Fläche - absolut.
g(x) ist die berechnete Funktion aus Teil e der Aufgabe g(x)= -1/3x³-x²-x-1/3

Die Aufgaben der Kurvendiskussion davor haben super geklappt, mit diesen habe ich leider kaum einen Ansatz.

Ich wäre über prompte Hilfe sehr erfreut.

06.04.2014, 20:44

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Nun denn:

Welche Bedingungen kannst du denn aufstellen ?

Edit: Fehler entfernt.

06.04.2014, 20:47

schultz

Auf diesen Beitrag antworten »

die funktion g(x) soll dritten Grades sein und eine dreifache Nullstelle haben, dafür kommt also nur eine Funktion folgender Gestalt in Frage:
$\begin{eqnarray*} g(x)=a(x-b)^3 \end{eqnarray*}$
Aus der Wendestelle und dem Punkt (1|f(1)) bestimmst du nun a und b

06.04.2014, 22:08

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

@ Bonheur
Ja, es ist wirklich die Funktion.

Also f(1)= -2,67

Also habe ich den WP bei (1/-2,67)

f''(1)= 0 = -6a+2b

und

f(1)= -2,67
= a + b + c +d = -2,67

Ist das so weit richtig ?
Und wie kriege ich jetzt mein a und b ?.

06.04.2014, 22:14

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Zur f)

Die Graphen f(x) und g(x) begrenzen ein Flächenstück in dem Intervall -1 und 1.
Berechnen Sie die exakten Schnittpunkte und berechnen Sie die Fläche - absolut.
g(x) ist die berechnete Funktion aus Teil e der Aufgabe g(x)= -1/3x³-x²-x-1/3

Also soll ich das Integral von -1 bis 1 berechnen, ist ja so weit nicht so schwer.
Aber mit welcher Funktion ?
Erst mit f(x) und dann mit g(x) ?
Oder müssen die Funktion irgentwie zusammengefasst werden ?

06.04.2014, 22:20

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Wir kümmern uns erst um e), damit wir die Übersicht nicht verlieren. Freude

Freude

Ich würde lieber mit Brüchen arbeiten(viel genauer).

Der Wendepunkt liegt aber nicht bei W(1|-2,67).

Anzeige

06.04.2014, 22:26

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Idee war 1 in die Stammfunktion einzusetzen weil WP (1/f(1)).
Da scheine ich einen Denkfehler zu haben.
Wo ist denn mein WP und warum ?

06.04.2014, 22:33

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Wendepunkt:

$\begin{eqnarray*} f(x)= 1/3 \cdot (-4x³-12x²+8) \end{eqnarray*}$

Die Bedingung für Wendepunkte:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=0 \end{eqnarray*}$ d.h dass du die Funktion zweimal ableiten musst und dann gleich null setzen und nach x umstellen und da kommt auf gar keinen Fall x=1 raus.

Vor allem auch, wegen dieser Information in der Aufgabenstellung:

Zitat:

Original von neca
Weiterhin hat die Funktion g(x) den Punkt
(1 ; y) mit der Funktion f(x) gemeinsam.

Welche Information kannst du daraus entnehmen ?

06.04.2014, 22:35

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe den WP ja sogar ein paar Aufgaben voher berechnet, ich komme auf
WP (-1/0). Hammer

Hammer

06.04.2014, 22:41

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist richtig.

$\begin{eqnarray*} g(x)=a(x-b)^3 \end{eqnarray*}$

Allerdings brauchst du noch eine Information, um a,b bestimmen zu können, weil du zwei Unbekannten hast.

Zitat:

Original von Bonheur

Zitat:

Original von neca
Weiterhin hat die Funktion g(x) den Punkt
(1 ; y) mit der Funktion f(x) gemeinsam.

Welche Information kannst du daraus entnehmen ?

Daraus kannst du noch eine Information entnehmen !

06.04.2014, 22:45

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Mir fällt da leider nichts auf.

06.04.2014, 22:46

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Bei x=1 haben g(x) und f(x) einen gemeinsamen Punkt:

P(1|-8/3)

Dieser Punkt ist bei beiden Funktionen identisch.

06.04.2014, 22:53

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Also stelle ich jetzt 2 Gleichungen auf ?

06.04.2014, 22:55

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

$\begin{eqnarray*} g(x)=a(x-b)^3 \end{eqnarray*}$

1. $\begin{eqnarray*} g(1)= \dots=\dots \end{eqnarray*}$

2. $\begin{eqnarray*} g(-1)= \dots=\dots \end{eqnarray*}$

06.04.2014, 23:00

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

g(1)=a+b+c+d = -8/3
g(-1)=-a+b-c+d = 0

Ist das eig. die einzige Möglichkeit ?
Ich könnte doch auch f''(-1)=0 als Gleichung nehmen oder ?
Hauptsache ich habe 2 um a und b ausrechnen zu können oder nicht ?

06.04.2014, 23:09

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du möchtest, können wir auch die andere Methode machen, die allerdings viel aufwändiger ist.

Die Funktion g(x) ist dritten Grades:

Ansatz:

$\begin{eqnarray*} g(x)=a \cdot x^{3}+b \cdot x^{2}+c \cdot x+d \end{eqnarray*}$

Du hast vier Unbekannten, deshalb musst du vier Gleichungen aufstellen:

Zwei Gleichungen hast du schon aufgestellt:

$\begin{eqnarray*} g(1)=a+b+c+d=-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(-1)=-a+b-c+d=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt weißt du noch, dass eine dreifache Nullstelle hast, aus diesem Grund kannst du zwei weitere Bedingungen aufstellen, welche sind das ?

06.04.2014, 23:16

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Methode gefällt mir deutlich besser, denn diese kenne ich smile

smile

.

Meine nächste Gleichung wäre:
g''(-1) = 0
g''(-1) = -6a + 2b

So habe ich gelernt die zweite Gleichung aus einem WP zu ziehen.

Mit der Information der dreifachen Nullstelle kann ich leider nicht so viel anfangen, da ich nicht einmal weiß was genau das bedeutet.

06.04.2014, 23:20

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

War es nicht so das eine dreifache NS bedeutet, dass die 1te und 2te Ableitung die gleiche NS haben ?

Also könnte ich auch folgende Funktionen aufstellen:
g'(-1)=0
g''(-1)=0

Ist aber nur eine Vermutung.

06.04.2014, 23:24

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Beide Bedingungen sind richtig:
Es gilt:

$\begin{eqnarray*} a+b+c+d=-\frac{8}{3} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -a+b-c+d=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3a-2b+c=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2b-6a=0 \end{eqnarray*}$

Nun hast du vier Gleichungen mit vier Unbekannten und kannst alle Unbekannten bestimmen. Man erkennt die Nullstellen an dem Exponenten z.B hat x^{3}=f(x) dreifache Nullstellen und kann auch maximal nur drei besitzen.

Aber in diesem Fall stimmt deine Annahme.

Nun musst du dieses Gleichungssystem lösen.

06.04.2014, 23:30

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Hier stand Mist.

Okay, würdest du mir noch bei der f) auf die Sprünge helfen während ich das LGS löse ?

06.04.2014, 23:36

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

[attach]33853[/attach]

Diese schraffierte Fläche ist gesucht.

Hast du eine Idee dazu ?

06.04.2014, 23:47

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ist ja der exakte Schnittpunkt der Funktionen gesucht, dafür würde ich die beiden Funktionen gleich setzen und alles aus eine Seite bringen, oder etwa nicht ?

06.04.2014, 23:52

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

06.04.2014, 23:59

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

-4/3x³-4x²+2,66 = -1/3x³-x²-x-1/3

=>

-x³-3x²+x+2,99 = 0

Ich hoffe das ist richtig, aber wo ist jetzt der exakte Schnittpunkt ?
Muss ich dafür etwas einsetzen ?

07.04.2014, 00:02

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt nicht.

Es gilt:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{3} \cdot x^{3}-x^{2}-x-\frac{1}{3}=\frac{1}{3} \cdot (-4x^{3}-12x^{2}+8) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x^{3}+3x^{2}-x-3=0 \end{eqnarray*}$

Jetzt musst du Polynomdivision anwenden, zwei Schnittstellen kennst du schon.

07.04.2014, 00:08

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ich die klammer von f(x) nicht vorher auflösen ?

07.04.2014, 00:10

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Doch kannst du, aber du kommst trotzdem auf den angegebenen Term von mir. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Polynomdivision:

$\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}\polyset{style=C, div=:, vars=x}<br />\polylongdiv[stage=10]{x^{3}+3x^{2}-x-3}{x-1}<br />\begin{eqnarray*} \end{eqnarray*}$

x^{2}+4x+3=0

PQ-Formel anwenden.

07.04.2014, 00:15

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Haha, die Polynomdivision hätte ich auch selber hingekriegt, aber danke. Big Laugh

Big Laugh

Warum muss ich g(x) - f(x) rechnen und nicht anders herum ?

Warum mache ich die Polynomdivision mit 1 ?

Ich hätte alternativ eine Wertetabelle gemacht um eine NS zu finden oder wenn diese nicht gerade gewesen wäre, hätte ich das Newton-Verfahren benutzt.

07.04.2014, 00:18

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Also sind meine Schnittpunkte
x1= 1 ; x2= -2 ; x3=-3

Jetzt folgt was ?

07.04.2014, 00:22

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von neca
Warum mache ich die Polynomdivision mit 1 ?

In der Aufgabenstellung steht, dass bei x=1 g(x) und f(x) einen gemeinsamen Punkt haben. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Original von neca
Warum muss ich g(x) - f(x) rechnen und nicht anders herum ?

Kannst du auch, dann musst du allerdings bedenken, dass sich die Vorzeichen ändern.

Zitat:

Original von neca
Also sind meine Schnittpunkte
x1= 1 ; x2= -2 ; x3=-3

Jetzt folgt was ?

Das kann nicht stimmen.

07.04.2014, 00:25

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Also bei der PQ-Formel habe ich -1 und -3 raus.
Und der 3te (oder auch erste) gemeinsame Punkt steht, wie du gesagt hast, in der Aufgabe.

07.04.2014, 00:30

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist korrekt.

07.04.2014, 00:32

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Und das sind doch dann meine "exakten Schnittpunkte" oder ?

Muss ich danach Das Integral der Funktion berechnen die wir eben errechnet haben ?

07.04.2014, 00:37

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast bloß die x-Koordinaten bestimmt. Du musst natürlich auch die y-Koordinaten bestimmen, denn ein Punkt besteht aus einer x,y- Koordinate.

Nun musst du die Fläche berechnen, die beide Funktion begrenzen.

$\begin{eqnarray*} I[-1;1] \end{eqnarray*}$

Hast du dazu eine Idee?

@neca

Ich gehe jetzt schlafen, wenn du möchtest, machen wir später weiter.

Vielleicht übernimmt auch ein anderer. smile

smile

07.04.2014, 00:50

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

f(x)dx = x³+3x²-x-3

F(x)=1/4x^4+x³- 0,5x² -3x

07.04.2014, 09:29

Bonheur

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Stammfunktion ist richtig.

07.04.2014, 20:10

neca

Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt F(1) - F(-1)

F(1)= -2,25
F(-1)= 1,75

-2,25-1,75 = -4

Also beträgt die Fläche 4 ?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »