Orthogonale Matrizen

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Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonale Matrizen
Meine Frage:
Folgende Aufgabe ist gestellt:

Sei A eine orthogonale n x n-Matrix, das heisst, die Spalten bilden eine Orthonormalbasis von R^n. Zeigen Sie, dass:



Meine Ideen:
Ich weiss, dass

Doch wieso soll A*v dasselbe Ergebnis geben`? Und wie kann ich dies beweisen?

Hat mir da jemand einen guten Tipp? Habe schon im Internet gesucht, doch nichts Gescheites gefunden. Danke Euch im Voraus.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Stelle die Norm durch das Skalarprodukt dar.
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn beide orthogonal zueinander stehen, dann gilt ja:



Doch ich weiss nicht genau, wie es auf der anderen Seite der Gleichung aussehen soll:



stimmt das so? unglücklich

verwirrt Komme irgendwie nicht auf eine gescheite Idee.
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Du solltest noch einen Schritt weitergehen, nämlich
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Diese Form hatten wir bis anhin noch nicht.

Kannst du mir das evtl. erklären?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es eigentlich nicht viel zu erklären. Das ist nur eine andere Darstellung des Skalarproduktes.

Wenn Du einen Zeilenvektor mit seinem transponierten Multiplizierst, erhältst Du gerade die Summe der quadrierten Koordinaten des Vektors und nichts anderes macht das Skalarprodukt.
 
 
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, stimmt Big Laugh

Doch wieso sollte die erste Darstellung dasselbe Ergebnis liefern? Ich komm da nicht so ganz dahinter, denn A ist ja nicht die transponierte Matrix zu v oder liefert deren Multiplikation genau das?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was ergibt sich denn nach dem Einsetzen für
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

=

Da ja gilt:

Richtig so oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Was soll denn das Skalarprodukt einer Matrix mit einem Vektor sein? verwirrt

Mit ist
Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Sry, vergiss die vorherige Nachricht wieder, das war Humbuck. Hammer

Also wenn man die Substitution weiterführt kommt man auf: A^Tv^T(Av)=(A^TA)v^Tv

Die Multiplikation von A^TA ergibt die Einheitsmatrix E und demnach v^Tv.

Ich hoffe meine Schlussfolgerung stimmt so Wink
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Auch wenn Du die Idee jetzt erfasst hast, musst Du schon noch auf die Reihenfolge achten:

Veysel1990 Auf diesen Beitrag antworten »

Freude Danke vielmals. Dein Tipp hat mir echt geholfen.
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