Orthogonale Matrizen |
08.04.2014, 21:09 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Orthogonale Matrizen Folgende Aufgabe ist gestellt: Sei A eine orthogonale n x n-Matrix, das heisst, die Spalten bilden eine Orthonormalbasis von R^n. Zeigen Sie, dass: Meine Ideen: Ich weiss, dass Doch wieso soll A*v dasselbe Ergebnis geben`? Und wie kann ich dies beweisen? Hat mir da jemand einen guten Tipp? Habe schon im Internet gesucht, doch nichts Gescheites gefunden. Danke Euch im Voraus. |
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08.04.2014, 21:50 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stelle die Norm durch das Skalarprodukt dar. |
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09.04.2014, 20:34 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also wenn beide orthogonal zueinander stehen, dann gilt ja: Doch ich weiss nicht genau, wie es auf der anderen Seite der Gleichung aussehen soll: stimmt das so? Komme irgendwie nicht auf eine gescheite Idee. |
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09.04.2014, 22:43 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du solltest noch einen Schritt weitergehen, nämlich |
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09.04.2014, 22:57 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Diese Form hatten wir bis anhin noch nicht. Kannst du mir das evtl. erklären? |
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09.04.2014, 23:08 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Da gibt es eigentlich nicht viel zu erklären. Das ist nur eine andere Darstellung des Skalarproduktes. Wenn Du einen Zeilenvektor mit seinem transponierten Multiplizierst, erhältst Du gerade die Summe der quadrierten Koordinaten des Vektors und nichts anderes macht das Skalarprodukt. |
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09.04.2014, 23:40 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, stimmt Doch wieso sollte die erste Darstellung dasselbe Ergebnis liefern? Ich komm da nicht so ganz dahinter, denn A ist ja nicht die transponierte Matrix zu v oder liefert deren Multiplikation genau das? |
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10.04.2014, 00:09 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was ergibt sich denn nach dem Einsetzen für |
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10.04.2014, 00:34 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
= Da ja gilt: Richtig so oder? |
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10.04.2014, 01:05 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Was soll denn das Skalarprodukt einer Matrix mit einem Vektor sein? Mit ist |
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10.04.2014, 08:14 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Sry, vergiss die vorherige Nachricht wieder, das war Humbuck. Also wenn man die Substitution weiterführt kommt man auf: A^Tv^T(Av)=(A^TA)v^Tv Die Multiplikation von A^TA ergibt die Einheitsmatrix E und demnach v^Tv. Ich hoffe meine Schlussfolgerung stimmt so |
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10.04.2014, 19:07 | Helferlein | Auf diesen Beitrag antworten » |
Auch wenn Du die Idee jetzt erfasst hast, musst Du schon noch auf die Reihenfolge achten: |
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11.04.2014, 08:52 | Veysel1990 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke vielmals. Dein Tipp hat mir echt geholfen. |
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