Radius von sich überlappenden Kreisen auf einer Kugel berechnen

09.04.2014, 19:42	UlliSalux	Auf diesen Beitrag antworten »
Radius von sich überlappenden Kreisen auf einer Kugel berechnen Meine Frage: Es geht um die Erde. Ich nehme eine perfekte Kugel mit einem Umfang von 40000km an (also ein Großkreis der Erdkugel). Auf der Erde existiert ein Gebiet (Kreis) in der Größe des Polarkreises - also bis zum 66,55° Breitengrad (ein Kleinkreis). Ein weiter Kleinkreis sitzt mit seinem Mittelpunkt am dem Rand des ersten Kreises (Polarkreis) und verdeckt mit einem Teil genau die Hälfte der Oberläche des ersten Kreises. Die Frage nun : wie groß ist der Radius des zweiten, größeren Kreises auf der gekrümmten! Oberfläche der Erde? Meine Ideen: Meine Idee ist: Zunächst Kugelkappe/Kalotte des Polarkreises ausrechnen. Radius der Erde ist 40000000 / (2* PI) = 6.366.197 m Der Winkel alpha des Kreissegments ist 180-266,55° = 46,9° Dann ist die Höhe h des Segmente r / (1-cos(alpha/2)) = 525.798,916 m Kreissehne s = 2 * r * sin(alpha/2) = 5.066.389,342 m (Zur Überprüfung: zum Quadrat = 25.672.860.912.986 m², Kreisfläche (d.h. Grundfläche des Kugelsegments) = 20.163.417.810.217 m²) Damit ist dann die Fläche des Polarkreis-Kreises = Kugelkalotte PI * r * 2 * h = 21.031.956.653.740,266 m² Erdoberfläche 4PIr² = 509.295.817.894.065,074 m² Jetzt bedeckt der größere Kreis ja die Hälfte des kleineren Kreises und da hört es bei mir auf. Meine Idee wäre es nun aus der Fläche/2 des kleinen Kreises den Radius des größeren Kreises auszurechnen um dann auf die Fläche zu kommen. Von schlauen Leuten habe ich die Monte-Carlo Methode gesagt bekommen, aber das ist mehr als meine Abiturmathe es zulässt. Gibt es dazu eine einfache oder auch komplizierte Lösung?
18.04.2014, 02:59	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Radius von sich überlappenden Kreisen auf einer Kugel berechnen Um die Oberfläche einer Kugelkappe zu berechnen, kann man diese in unendlich kleine Scheiben gleicher Höhe teilen. Wenn man nun deren Umfangswinkel im Bogenmaß betrachtet und als Funktion W(y) darstellt, erhält man die Oberfläche (Kugelradius R, Dicke y2-y1) als $\begin{eqnarray} M=R \int_{y_1}^{y_2} \! W(y) \, dy=R \int_{y_1}^{y_2} \! 2\pi \, dy=R2\pi(y_2-y_1) \end{eqnarray}$ Zur Vereinfachung sei die Erde die Einheitskugel. Bei einem Schnitt durch die Kugelkappe verändern sich die Umfangswinkel in Abhängigkeit von y. Das ist der Fall, wenn man die graue Fläche bestimmen will, die sich aus dem Schnitt von Polarkreis mit einem Kleinkreis ergibt. Der Mittelpunkt des Kleinkreises soll auf dem Rand des Polarkreises liegen. Der Schnitt mit der xy-Ebene ergibt die Gerade $\begin{eqnarray} f(y)=\tan(66.55°)y+l \end{eqnarray}$ . Parameter l ist abhängig von y2. Daraus lässt sich auch der Radius des roten Kreises errechnen. y2 muss nun so gewählt werden, dass sich die halbe Fläche des Polarkreises ergibt. Diese wäre 0,25947 auf der Einheitskugel. $\begin{eqnarray} \int_{y_1}^{y_2} \! W(y)\, dy=\int_{0.9174}^{y_2} \!2cos^{-1}\left(\frac{2.305(y-y_2)+\sqrt{1-y_2^2}}{\sqrt{1-y^2}}\right)\, dy=0.25947 \end{eqnarray}$ Diese Gleichung lässt sich eigentlich nur numerisch lösen (evtl. Online-Integrator benutzen).

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