Lipschitz Bedingung vs. Glm. Stetig

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maxx03 Auf diesen Beitrag antworten »
Lipschitz Bedingung vs. Glm. Stetig
Kann mir wer (am besten anhand einer Beispielfunktion) erklären wo der Unterschied liegt zwischen:

a) Die Funktion f genügt im Definitionsbereich D einer (globalen) Lipschitz Bedingung

b) Die Funktion f ist im Definitionsbereich D gleichmäßig stetig

Definition a) lautet exakt: Es gibt eine Konstante L>0 sodass:
|f(x)-f(y)| < L|x-y| für alle x,y aus D
Definition b) lautet exakt: Zu jeden e>0 Gibt es ein d > 0 sodass:
|f(x)-f(y)| < e für alle |x-y| < d und x,y aus D

Meiner Meinung nach:
a) => b) Zu gegebenen e wähle man d so klein dass d <= e / L , L existiert nach Vorr. , es folgt |f(x)-f(y)| < L|x-y| < L d <= e

b) => a) Komm ich jetzt gerade nicht drauf :P aber Lipschitz Bedingung
sollte doch wenn dann schwächer als glm. stetig sein.

Danke im Vorraus für die Antworten

PS: Noch ne Bonusfrage Augenzwinkern : Kann mir wer eine Funktion sagen die stetig ist aber nicht Lipschitz stetig ist ?

(Def. Lipschitz stetig: Es gibt zu jedem Punkt eine Umgebung U sodass f in dieser Umgebung einer Lipschitz Bedingung genügt)
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo maxx03
Lipschitz stetig glm. stetig stetig
Beispiel wäre die Wurzelfunktion oder
die ist nicht L stetig(oder verwirrt )
Hier hat ich schonmal ein wenig dazu geschrieben.
alles klar?
gruß
mathemaduenn
Edit: Da hat ich doch die Pfeile verwechselt
n! Auf diesen Beitrag antworten »

also im letzten Thread hab ich ja vieles verstanden über die Definition der L-Stetigkeit.Aber irgendwie schein ich unfähig zu sein eine komplette Formel aufzuschreiben dafür.verwirrt

nehmen wir mal an ich habe f(x)=1/3 x
Wie würde ich das ausführlich aufschreiben mit den Beträgen?
Die Konstante L müsste doch dann die Ableitung sein?
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo n!
Ja L wäre z.B. 1/3. Du kannst aber auch 2 nehmen wichtig ist bloß das es solch eine Zahl gibt. Und schreiben würde man das z.B. so

oder für's Beispiel

Das sieht man vielleicht auch ohne Ableitung.
@maxx03
noch eine Erklärung zur Wurzelfunktion nehmen wir mal an es gäbe solch ein L
nehmen wir jetzt y=0,x>0





d.h. die Bedingung git nicht für alle x aus R
gruß
mathemaduenn
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathemaduenn
Hallo maxx03
stetig glm. stetig Lipschitz stetig

Eine Funktion ist doch nicht automatisch glm. stetig, wenn sie stetig ist??

z.B.: ist auf stetig aber nicht gleichmässig stetig.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo navajo
Danke fürs aufmerksame Mitlesen hab's editiert.
gruß
mathemaduenn
 
 
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Hab mir fast gedacht das es ein Schreibfehler war.
Aber ich hab lieber drauf aufmerksam gemacht, denn in dem anderen Thread zu dem Thema ist übrigens der selbe Fehler drin Augenzwinkern
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

geschockt
X(
:rolleyes:
n! Auf diesen Beitrag antworten »

@mathemaduenn

erstmal vielen Dank für die Mühe.Wenn ich jetzt eine Aufgabe gestellt bekommen würde,die wie folgt aussieht,wie müsste ich dann vorgehen:

Zeige: 1/x ist L-stetig in [ 1 | 10 ] , in [ 0,1 | 1 ] .
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo n!
Zeige f'(x) ist beschränkt auf dem gegebenen Intervall das ist wohl meist am leichtesten Du kannst's natürlich auch die direkt machen wie dies z.B. therisen im anderen thread gemacht hat. Also zeige

gruß
mathemaduenn
navajo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch das mal, in der Gefahr hin, dass ich damit zuviel vorsage als gewünscht ist :P

Also die Funktion mal einsetzen:

Auf einen Nenner bringen:

Ich hoffe dass man sowas mit dem Betrag darf:

Und müsste dasselbe sein, wie , also:

So und dann nimmt man L als das maximum von , dann müsste es ja passen. Also bei [1,10] dürfte dann L=1 reichen und bei [0.1,1] dann L=100.

Aber ich bin mir nicht sicher ob das so stimmt, hab das auch eher als übung für mich gerechnet Augenzwinkern
n! Auf diesen Beitrag antworten »

müsste eigentlich so weit hinkommen ja.
Bei [1,10] reicht L=1,wie du schon richtig sagtest.
Bei [0,1 , 1] würde eigentlich auch ein kleinerer als L=100 passen oder irre mich?
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo n!
wenn du mit x,y, nahe an die 0.1 rangehst wirst Du dieses L=100 wirklich brauchen. In der Ungleichungskette von navajo sind ja auch keine Abschätzungen(im Sinne von ) vorhanden.
Kannst ja mal x=0.1 und y=0.1001 ausprobieren. Aber wie schon gesagt es geht auch nicht darum ein möglichst kleines L zu finden sondern um die Aussage das es eins gibt.
gruß
mathemaduenn
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo maxx03,
Um den Unterschied zwischen glm. stetig und Lipschitz stetig zu verdeutlichen wollt ich nochmal die glm stetigkeit an meinem Bsp. zeigen.
o.B.d.A. x>y







Also delta wäre gleich epsilon^2 L-stetigkeit bedeutet aber lineare Abnahme des delta mit epsilon
Ich hoffe das ist klärend

gruß
mathemaduenn
maxx03 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten ! Mit Zunge Eine Frage hätte ich aber noch: Mit der oben vorkommenden Eigenschaft "Lipschitz - stetig" ist wohl immer das was ich als Lipschitz Bedingung bezeichnet habe gemeint oder ? Es existiert also eine globale Konstante, und nicht nur eine lokale für eine evtl sehr kleine Umgebung U des Punktes...die lokale Eigenschaft ist nämlich sicher schwächer als gleichmäßige Stetigkeit, denn zb. f(x)= 1 / x auf D = (0, unendlich) ist nicht glm. stetig aber ist (lokal) Lipschitz Stetig.
mathemaduenn Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo maxx03,
Ich war jetzt von global Lipschitz stetig ausgegangen. Glaube aber auch schonmal was von lokal Lipschitz stetig gehört zu haben. Wie allerdings dein und mein Bsp. zeigen kann man weder von glm. stetig auf lokal Lipschitz stetig noch von lokal Lipschitz-stetig auf glm. stetig schließen.
gruß
mathemaduenn
Bruno Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von mathemaduenn
Hallo maxx03,
Ich war jetzt von global Lipschitz stetig ausgegangen. Glaube aber auch schonmal was von lokal Lipschitz stetig gehört zu haben. Wie allerdings dein und mein Bsp. zeigen kann man weder von glm. stetig auf lokal Lipschitz stetig noch von lokal Lipschitz-stetig auf glm. stetig schließen.
gruß
mathemaduenn


Wenn f gleichmäßig stetig, dann ist f auch stetig
Wenn f lip-stetig , dann f auch stetig,

lässt sich nun zwischen gleichmäßig stetig und lipstetig kein stärkeres rauskristallisieren: am Anfang des Beitrages hiess es Lip -> gleichmäßig -> stetig
AD Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bruno
am Anfang des Beitrages hiess es Lip -> gleichmäßig -> stetig

So ist es auch! Du hast dich vielleicht durch das "lokal Lipschitz-stetig" verwirren lassen. Genaueres hier:

http://de.wikipedia.org/wiki/Lipschitz-Stetigkeit
Bruno Auf diesen Beitrag antworten »

ooops... Hammer stimmt... danke
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