Affine Abbildungen

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Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Meine Frage:
Ein guten Tag. Rede hier nicht groß um den Brei, der orginale Text der Aufgabe lautet:

1) Die Abbildung



definiert eine affine Abbildung Zeigen Sie, dass diese affine Abbildung sich aus einer Scherung, gefolgt von einer Rotation um , gefolgt von einer Vergrößerung um und einer anschließenden Translation zusammensetzt.

[attach]33887[/attach]

2) Das Bild zeigt ein Rechteck und das Bild des Rechtecks unter einer affinen Abbildung A, im selben Koordinatensystem. Konstruieren Sie A explizit in der Form wie sie in 1) gegeben ist. Nehmen Sie dazu an, dass mit und dass die Strecken folgende Verhältnisse bilden mit

Betrachten wir nun eine affine Abbildung Wir wollen zeigen, dass wir mittels einer Hilfskonstruktion h, die Abbildung A als reine Matrixmultiplikation schreiben können. Dazu betrachten wir die Hilfskonstruktion

c) Finden Sie eine Matrix B, s.d. für zwei Vektoren diese affine Abbildung beschrieben wird.

Meine Ideen:
Also ich habe soweit folgendes drauf:

Eine Abbildung zwischen affinen Räumen und heißt affine Abbildung, wenn es eine lineare Abbildung zwischen den zugehörigen Vektorräumen gibt, so dass
Punkte gilt. Dabei bezeichnen und die Verbindungsvektoren der Urbild- bzw. der Bildpunkte.

Die Definition aus der Vorlesung pinsel ich mal auch noch mal hin smile die lautet nämlich:







(R und Q sind halt zwei Punkte, die wenn man subtrahiert, einen Vektor ergeben)

Die Bedingung für eine affine Abbildung ist dann, dass





Jetzt erstmal zu der 1). Ich weiß dass es drei Sorten von affinen Abbildungen gibt.

1) Konstante Translation in Raum und Zeit



2) Rotation des Raums


3) Homogene Bewegung


Das sind auch die drei Abbildungen, die in Aufgabenteil 1) gemeint sind, aber ich finde einfach nicht den Ansatz mit dem ich dies auf irgendeine Weise zeigen könnte.

Thanks & liebe Grüße

Simone


Zwei Beiträge zu einem zusammengefasst, damit der Antwortzähler wieder auf Null steht. Steffen
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

"Vergrößerung" habe ich jetzt auch noch nie gehört. Aber sei's drum.

Es seien die Matrizen für die Scherung, "Vergrößerung" und Rotation. Gemäß Aufgabe probieren wir es mit



Aus der Beziehung



kann berechnet werden ... und stellt sich als Scherung heraus. Die anschließende Translation kann man aus der Abbildungsvorschrift direkt ablesen.
 
 
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Hallooo smile

Zitat:
Original von Leopold
"Vergrößerung" habe ich jetzt auch noch nie gehört. Aber sei's drum.

Ich habe es gestern zum ersten mal gehört, daher sind mir andere Synonyme nicht bekannt.
Kann mich gerne mit anderen/passenderen Begriffen anfreunden smile

Wie kommt man aber jetzt auf die einzelnen Matrizen? Und auf die Beziehung?
Zitat:
Original von Leopold
Aus der Beziehung



kann berechnet werden ... und stellt sich als Scherung heraus. Die anschließende Translation kann man aus der Abbildungsvorschrift direkt ablesen.


Ja für

Sofern ich mich nicht verrechnet habe. Die anschließende Translation kann man ablesen?

Vielen Dank

Simone
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Die Rechnung stimmt nicht. Beachte: Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ. Denke an die korrekte Reihenfolge.
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Die Matrizenmultiplikation ist nicht kommutativ.

Genau. Das wollte ich berücksichtigen, sehe aber meinen Fehler gerade nicht. Ich eliminiere doch erst das links mit dem Inversen und dann das

Aber was ist dann falsch?

Vielen Dank

Simone
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simeone
Aber was ist dann falsch?

Sorry.

Simone
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simeone
Ich eliminiere doch erst das links mit dem Inversen und dann das


Genau so müßtest du es machen. Aber genau so machst du es nicht.
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Ja dann muss ich rechts dazu multiplizieren mit dem Inversen. Dann bekomme ich doch:

Ja für

Wo ist der Haken?
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »



Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr.



Wie lese ich jetzt die Translation ab?

Simone
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simeone


Da dich schon solch einfache Dinge vor größere Hindernisse stellen, solltest du dich dringend mit den Grundlagen beschäftigen:

Wie sehen Streckmatrizen ("Vergrößerungs-/Verkleinerungsmatrizen") aus?
Wie sehen Drehmatrizen aus?
Wie sehen Spiegelmatrizen aus?
Wie sehen Schermatrizen aus?
Was ist eine Translation?
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Da dich schon solch einfache Dinge vor größere Hindernisse stellen, solltest du dich dringend mit den Grundlagen beschäftigen:

Wie sehen Streckmatrizen ("Vergrößerungs-/Verkleinerungsmatrizen") aus?
Wie sehen Drehmatrizen aus?
Wie sehen Spiegelmatrizen aus?
Wie sehen Schermatrizen aus?
Was ist eine Translation?

Jup. Mache ich.

Zitat:
Original von Leopold
[quote]Original von Simeone

Die Sache ist, wie soll man eine 2x2 Matrix mit einem 2x1 Vektor addieren? verwirrt

Danke Simone
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Simeone
Zitat:
Original von Leopold
[quote]Original von Simeone

Die Sache ist, wie soll man eine 2x2 Matrix mit einem 2x1 Vektor addieren? verwirrt




Hier wird ein Vektor und ein Vektor addiert.
Die Translation für sich genommen läßt sich nicht durch Multiplikation mit einer Matrix bewerkstelligen, jedenfalls nicht im üblichen Sinn. Schließlich sind Translationen (die Nullverschiebung ausgenommen) keine linearen Abbildungen.

Translation um den Vektor :



Sowohl als auch ist ein Vektor.
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Dann müsste doch meine Translation doch sein:



Simone
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das stimmt nicht.

Neben den Matrizen wie bisher führen wir noch die Matrix und den Vektor mit



ein. Die Translation , die ganz am Schluß noch ausgeführt werden muß, ist



Daneben haben wir die Abbildungen



und die gegebene Abbildung



Als Verkettung von Abbildungen geschrieben gilt dann:



Und als Abbildungsvorschrift ist das



Ich merke übrigens gerade, daß da noch ein Fehler drin ist. Nach Aufgabe sollte die Vergrößerung nach der Rotation erfolgen. Normalerweise müßten wir jetzt ganz von vorne anfangen. Denn die Verkettung von Abbildungen (Multiplikation von Matrizen) ist nicht kommutativ. Aber glücklicherweise ist die Vergrößerungsmatrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix, also mit allen anderen Matrizen vertauschbar. Es gilt daher ebenso:



Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold





Vielen Dank für die notationelle Revolution Augenzwinkern Ich bin ein wenig verwirrt hinsichtlich der anfänglichen Vorschrift

Zitat:
Original von Leopold
Aus der Beziehung



kann berechnet werden ... und stellt sich als Scherung heraus. Die anschließende Translation kann man aus der Abbildungsvorschrift direkt ablesen.


und der jetzigen. Nun die Vertauschung von und wurde jetzt geklärt. Jetzt brauche ich aber nichts zu invertieren, sondern führe einfach die Multiplikation durch und dann die Addition?

Simone
Simeone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Leopold
Und als Abbildungsvorschrift ist das



Ich merke übrigens gerade, daß da noch ein Fehler drin ist. Nach Aufgabe sollte die Vergrößerung nach der Rotation erfolgen. Normalerweise müßten wir jetzt ganz von vorne anfangen. Denn die Verkettung von Abbildungen (Multiplikation von Matrizen) ist nicht kommutativ. Aber glücklicherweise ist die Vergrößerungsmatrix ein Vielfaches der Einheitsmatrix, also mit allen anderen Matrizen vertauschbar. Es gilt daher ebenso:







Stimmt das? Wie komme ich denn jetzt nochmal auf die Matrizen und ?

Bei der b) weiß ich nicht was ich machen soll, da ich ein Verständnisproblem habe "Das Bild zeigt ein Rechteck und das Bild des Rechtecks unter einen affinen Abbildung im selben KOS." Okay. Jetzt soll ich explizit in der Form wie sie in a) ist konstruieren? Ich weiß nicht wie ich das machen soll bzw. was genau. Ich habe die Strecken, welche Verhältnisse bilden und nun? Ich werde da einfach nicht daraus schlau unglücklich

Danke und liebe Grüße

Simone
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