Parallelität beweisen

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moclus Auf diesen Beitrag antworten »
Parallelität beweisen
Hallo smile

Ich soll beweisen das bei:


eine Parallelität besteht, also, dass es ein gibt, der die Eigenschaft:



hat.

Man hat uns den Hinweis gegeben, dass man hier mit Quadrierung arbeiten soll.
Wenn ich nun beide Seiten quadriere. Hab ich dann auf beiden Seiten das gleiche "Binom"? Ich versteh das nicht so recht. Ich stell mir vor, dass die gesamte Norm von a und b in einer Klammer ist. Aber auf der rechten Seite, würde ich doch jeweils einzeln ein Quadrat verpassen? verwirrt
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Ich denke mal, dass der Vektorraum zu betrachten ist?

Dieser ist lediglich der euklidische Raum mit Koordinaten. Mir fiele dann spontan ein geometrischer Widerspruchsbeweis ein.
Nimm an, und sind nicht parallel. Welche Konsequenz ergibt sich hieraus?
 
 
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man .. das ich das vergessen habe:



Ich weiß nicht, ob dir das vielleicht weiterhilft - bezüglich des Quadrierens...

Edit:

Antwort auf deine Frage: Wenn sie nicht parallel sind, öffnen die beiden einen Winkel.
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von moclus
Antwort auf deine Frage: Wenn sie nicht parallel sind, öffnen die beiden einen Winkel.


Richtig. Damit ließe sich aus den Vektoren , und ein Dreieck bilden.
Da ich aber denke, dass du wohl einen rein algebraischen Beweis möchtest:

Mit Quadrieren ist einfach gemeint, die Voraussetzung zu quadrieren. Quadrieren ist zwar keine Äquivalenzumformung, aber dennoch folgt aus auch für reelle und .
Quadriere also zunächst und schaue, was sich dann ergibt.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Also, ich hab grade mal etwas rumgeblättert bei uns - und ich glaube der Prof möchte folgendes sehen:



Angenommen: Ich "quadriere" die gesamte Gleichung. Den Ausdruck links vom Gleichheitszeichen, hab ich nachvollziehen können - aber was passiert rechts? verwirrt
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Beachte: .
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deinen Hinweis!

Ich schaue mir das morgen nochmal an - und werde wieder posten smile
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Also:






Hab ich alles richtig gemacht?
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Hieraus folgt, dass und einen Winkel von einschließen. Also?
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

oh, irgendwie ist mir der letzte Part flöten gegangen!

Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.
Insofern
bekannt ist, sind wir fertig.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Klasse, vielen Danke für deine Hilfe!
Tesserakt Auf diesen Beitrag antworten »

Nachtrag: Hier ein Beweis, der völlig ohne Geometrie auskommt und Vektoren nur als Tupel reeller Zahlen auffasst.


Hilfssatz Zu je zwei existieren stets und mit
sowie


Beweis: Sei zunächst . Wähle dann beliebig und .
Sei also nun . Aus der ersten Gleichung folgt jeweils , also .
Aus der zweiten Gleichung folgt (Def. des Skalarproduktes). Setze in diese Gleichung ein, sodass
.

Letztendlich ergibt sich dann . Da ist sichergestellt.
Entsprechend lassen sich die einzelnen Komponenten des Vektors nun berechnen. — q.e.d.

Nun zum eigentlichen Resultat.

Satz .

Beweis: Sei zunächst .

Dann sowie , also .

Sei nun vorausgesetzt.
Quadrieren der Voraussetzung ergibt zusammen mit einigen weiteren Umformungsschritten .
Nach dem Hilfssatz ist mit und sowie .

Also gilt , sodass . Hieraus folgt bereits .

Auch ist leicht einzusehen, dass gilt. Also hat man mit und letztendlich , woraus folgt.

Also ist , wobei eine positive reelle Zahl ist. — q.e.d.
moclus Auf diesen Beitrag antworten »

Wow ... das sieht kompliziert aus. Ich werd das mal versuchen nachzuvollziehen smile
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