Determinante und Eigenwerte eines bestimmten Endomorphismus

15.04.2014, 12:00	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Determinante und Eigenwerte eines bestimmten Endomorphismus Hallo, ich habe Folgende Aufgabe: Gegeben sei die Abbildung: $\begin{eqnarray} F:V\to V, F:= v+\phi(v)h, h \in ker(\phi), \phi \in V^\setminus \{ 0 \} \end{eqnarray}$ Wobei V ein Vektorraum über die reellen Zahlen ist. Als erstes sollte ich zeigen ,dass F linear ist. Das ging ganz schnell. Dann ist als Basis von F gegeben: $\begin{eqnarray} B = (h,v2,v3,...,vn) \end{eqnarray}$ Dann sollte ich die darstellende Matrix bestimmen. Dazu setze ich die Basisvektoren in die Abbildung ein und erhalte eine Matrix der Form: $\begin{eqnarray} M_B(F)=\begin{pmatrix}h&v_2+\phi(v_2)h&v_3+\phi(v_3)h&...&v_n+\phi(v_n)h \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wobei das so zu lesen ist, dass die Vektoren jeweils die Spalten befüllen (spart gerade etwas Schreibarbeit). Nun geht es aber los: Ich soll die Determinante der darstellenden Matrix und die Eigenwerte dazu bestimmen. Bei der Determinante ist mir aufgefallen dass man ausnutzen kann, dass man die Determinante schreiben kann als Addition von zwei neuen Determinanten in denen man jeweils in der i-ten Spalte in der einen neuen Matrix $\begin{eqnarray} v_i \end{eqnarray}$ und in der anderen $\begin{eqnarray} \phi(v_i)h \end{eqnarray}$ hat. Damit hat man aber in der zweiten neuen Matrix ein in der i-ten Spalte ein Vielfaches der ersten und damit ist die Determinante null. Das spiel kann man für alle Spalten durchexerzieren, sodass man am Ende eine Determinante bestimmen muss in der die Einträgen in den Spalten genau die Basisvektoren aus B sind. Also $\begin{eqnarray} det M_B(F) = det (h\quad v_2 \quad v_3\quad ...\quad v_n) \end{eqnarray*}$ An dieser Stelle hänge ich nun. Ich nehme mal nicht an, dass ich damit so fertig bin, oder? Außerdem soll ich die Eigenwerte der Matrix bestimmen. Mir ist klar, wie man das normalerweise macht, also wie man ein Charakteristisches Polynom aufstellt und dann die Nullstellen sucht. Aber die Determinante von (M-1 t) scheint mir noch weniger greifbar im Moment zu sein. Hat jemand einen Rat?
15.04.2014, 16:08	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du solltest mal $\begin{eqnarray} (F-id)^2 \end{eqnarray}$ bestimmen. Wenn du das gemacht hast, fallen sowohl die Eigenwerte, als auch die Determinante direkt ab. Deine Matrix hat eine komische Darstellung. In der Matrix sollten Zahlen stehen. Wenn du die Matrix richtig bestimmst, wären Eigenwerte und Determinante auch direkt klar. Deine Überlegungen sind leider Unsinn. Wie kannst du denn am Ende rauskriegen, dass die Determinante die Determinante der Basiswechselmatrix der Basis ist. Dann wäre die Determinante ja plötzlich basisabhängig... O.B.d.A könnte man auch noch annehmen, dass nur $\begin{eqnarray} \phi(v_n) \neq 0 \end{eqnarray}$ . Das macht die Sache nochmal etwas einfacher. Aber das ist nicht unbedingt nötig.
15.04.2014, 17:43	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, danke für die Antwort. Wieso ist denn meine darstellenden Matrix falsch? Ich dachte um die zu erhalten setzt man die Basisvektoren in die Abbildungsvorschrift ein und die daraus entstandenen Vektoren bilden die Spalten der darstellenden Matrix. Ist das falsch?
15.04.2014, 17:48	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst die Bildvektoren noch durch die Basis ausdrücken. Und die daraus erhaltenen Koeffizienten bilden dann die Spalten der Matrix.
16.04.2014, 08:25	Escapado	Auf diesen Beitrag antworten »
Ah... danke. Das war ja selten dumm von mir. Jetzt ist alles klar. Dann hat die Matrix ja direkt Diagonalgestalt. Die Determinante ist dann 1 und der einzige Eigenwert ist 1.
16.04.2014, 21:23	tmo	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so ist es.
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