[Simplexverfahren] Hilfe beim Maximieren

18.04.2014, 14:16

helpme124

[Simplexverfahren] Hilfe beim Maximieren

Hallo zusammen, ich habe folgende Aufgabe:
maximiere -x1+2*x2 unter2*x1+x2 <= 200-x1+x2 <= 40x1+x2 >= 50x1,x2>=0

Ich hab nun jeweils die x1, x2 Werte der Ungleichungen ermittelt und diese zeichnerisch in ein Koordinatensystem gezeichnet.
Nun fehlt mir noch die Zielfunktion, da aber die Restriktionen für x1, x2 > 0 sind, darf ich überhaupt die -x1 der Zielfunktion einzeichnen?
Anonsten zeichne ich -1 bei x1 ein und 2 bei x2 ein. Die Gerade Zielfunktion muss dann parallel nach "oben" verschoben werden, damit ich grafisch ermitteln kann, welche die Optimallösung ist, richtig? Ich würde behaupt den Opmtimalpunkt liegt bei 100 ?!

Ich hab teils die rechnerische Lösung versucht zu lösen, hierfür habe ich pro Ungleichung eine Schlupfvariable angehängt (s. unter Aufgabenstellung), dieses als LGS aufgestellt.
Jetzt muss ich das Pivot Element in der Zeile finden, richtig?

18.04.2014, 15:34

Kasen75

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RE: [Simplexverfahren] Hilfe beim Maximieren

Zitat:

Original von helpme124

Ich hab nun jeweils die x1, x2 Werte der Ungleichungen ermittelt und diese zeichnerisch in ein Koordinatensystem gezeichnet.
Nun fehlt mir noch die Zielfunktion, da aber die Restriktionen für x1, x2 > 0 sind, darf ich überhaupt die -x1 der Zielfunktion einzeichnen?

Anonsten zeichne ich -1 bei x1 ein und 2 bei x2 ein. Die Gerade Zielfunktion muss dann parallel nach "oben" verschoben werden, damit ich grafisch ermitteln kann, welche die Optimallösung ist, richtig? Ich würde behaupt den Opmtimalpunkt liegt bei 100 ?!

Hallo,

wieso behaupten ? Die Zielfunktion ist $\begin{eqnarray*} z=-x_1+2x_2 \end{eqnarray*}$ . Jetzt setzt du z=0 und löst die Gleichung nach $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auf. Diese Zielfunktion auf dem Niveau von 0 zeichnest du dann in das Koordinatensystem ein. Dann in der Tat parallel verschieben bis zu äußersten Rand des zulässigen Lösungsbereichs. Hast du den Optimalpunkt bestimmt, kannst du die entsprechenden (Un-)Gleichungen gleichsetzen und den exakten Wert bestimmen.
Edit: Oben kursives ersetzt.

Zitat:

Original von helpme124
Ich hab teils die rechnerische Lösung versucht zu lösen, hierfür habe ich pro Ungleichung eine Schlupfvariable angehängt (s. unter Aufgabenstellung), dieses als LGS aufgestellt.
Jetzt muss ich das Pivot Element in der Zeile finden, richtig?

Im Prinzip richtig. Du musst jedoch noch die Zielfunktion in dein Tableau eintragen. Da es sich um Maximierungsproblem handelt, gehen die Zielfunktionskoeffizienten mit umgekehrten Vorzeichen in das Tableau ein.

Des Weiteren stimmt die letzte Zeile nicht. Damit man prinzipiell ein Gleichheitszeichen hat, wird aus der Schlupfvariablen eine Überschussvariable.

$\begin{eqnarray*} 1x_1+1x_2-1x_5=50 \end{eqnarray*}$

Damit $\begin{eqnarray*} x_5 \end{eqnarray*}$ positiv ist, muss man jetzt die Gleichung mit (-1) multiplizieren.

$\begin{eqnarray*} -1x_1-1x_2+1x_5=-50 \end{eqnarray*}$

Jetzt ist aber das Tableau noch nicht zulässig. Deswegen wird erst einmal $\begin{eqnarray*} \textcolor{red}{-}1x_2 \end{eqnarray*}$ als Pivotelement genommen. Danach ist das Tableau zulässig.

Grüße.

21.04.2014, 16:34

helpme124

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Hallo Kasen75,

erstmal danke für die Hilfe, ich fange mit dem Thema erst an, deshalb brauche ich anfangs mehr Unterstützung.

Ich habe nun die Zielfunktion eingezeichnet, siehe Screenshot. (rote Gerade ist die Zielfunktion)

Zitat:

Hast du den Optimalpunkt bestimmt, kannst du die entsprechenden (Un-)Gleichungen gleichsetzen und den exakten Wert bestimmen.

Das verstehe ich noch nicht, soll ich die Zielfunktion z=-x1+2x2 mit 2x1+x2<=200 gleichsetzen? Kannst du bitte ein Beispiel machen.

Jetzt verschiebe die Zielfunktion nach oben und lese alle Schnittpunkte der Geraden ab und versuche die x1 und x2 Werte in die Zielfunktion einzusetzen, der höchste Wert ist der Optimalpunkt. Auf den ersten Blick würde ich behaupten das der Schnittpunkt der Geraden I und II vielversprechend aussehen. Diese liegen ca. bei x1=52 und x2=92, nun setze ich diese in die Zielfunktion z = -x1+2x2 ein

-(52) + 2*(92) = 132

Dies wären für x1,x2 die Optimalpunkte die das Maximum erreichen.

Ist das bis dahin richtig?

21.04.2014, 17:04

Kasen75

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Mit deiner eingezeichneten Zielfunktion stimmt etwas nicht. Du hast ja, richtigerweise, $\begin{eqnarray*} x_1=2x_2 \end{eqnarray*}$ . Somit ist die Steigung gleich 2.

Jetzt kannst du im Koordinatenursprung eine Gerade einzeichnen mit der Steigung 2. Diese dann solange verschieben, bis du an den äußersten Rand des Lösungsraums kommst. Das ist hier ein Eckpunkt. In diesem Eckpunkt schneiden sich zwei Geraden (Nebenbedinungen). Diese zwei Geraden setzt du dann gleich und bestimmst den $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Wert des optimalen Punktes.

21.04.2014, 20:04

helpme124

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Ups, dann war wohl die türkis Farbene Gerade die richtige Zielfunktion mit der Steigung 2

Wenn ich die Ungleichungen I und II gleichsetze, so fällt die x2 Variable weg

2x1 + x2 = -x1 + x2 | -x2
2x1 = -x1
3x1 = 0
x1 = 0

Hab ich was falsch gemacht?

22.04.2014, 13:20

Kasen75

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Zitat:

Original von helpme124
Ups, dann war wohl die türkis Farbene Gerade die richtige Zielfunktion mit der Steigung 2

Die türkisfarbene Gerade ist leider nicht richtig, da sie die Steigung 1/2 hat und nicht 2. Der eine Punkt ist ja $\begin{eqnarray*} A(x_2/x_1)=A(0/0) \end{eqnarray*}$ . Einen zweiten Punkt hast du ja richtig berechnet B(25/50). Diese beiden Punkte einzeichnen, verbinden und eine Gerade zeichnen.

Zitat:

Original von helpme124
Wenn ich die Ungleichungen I und II gleichsetze, so fällt die x2 Variable weg

2x1 + x2 = -x1 + x2 | -x2

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Hab ich was falsch gemacht?

Du musst erst beide Gleichungen jeweils nach z.B. $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ auflösen und dann die Terme für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gleichsetzen.

$\begin{eqnarray*} 2x_1+x_2=200 \ \ \ | \ -x_2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 2x_1=200-x_2 \ \ \ | \ : \ 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1=\textcolor{blue}{100-\frac{x_2}{2}} \end{eqnarray*}$

-----

$\begin{eqnarray*} -x_1+x_2=40 \ \ \ | \ +x_1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2=40+x_1 \ \ \ | \ -40 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_2-40=x_1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} x_1=\textcolor{blue}{x_2-40} \end{eqnarray*}$

Jetzt setzt du die Terme für $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ gleich.

$\begin{eqnarray*} \textcolor{blue}{100-\frac{x_2}{2}=x_2-40} \end{eqnarray*}$

Nun kannst du den $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ -Wert ausrechnen. Hast du diesen bestimmt, kannst du durch einsetzen des $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ .Wertes z.B. in die Gleichung $\begin{eqnarray*} x_1=x_2-40 \end{eqnarray*}$ den $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ -Wert bestimmen.

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