Irreduziblen Polynome vom Grad 2 in F5[X]?

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Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »
Irreduziblen Polynome vom Grad 2 in F5[X]?
Meine Frage:
Man bestimme alle irreduziblen Polynome vom Grad 2 in F5[X].

Meine Ideen:
Hallo,
ich habe schon durch wahlloses rumprobieren 8 Polynome gefunden, bei denen ich zumindest denke, dass sie irreduzibel sind:

- x² + x + 1
- x² + x + 2
- 3x² + x + 2
- 2x² + 1
- 3x² + 1
- 3x² + x + 4
- 2x² + x + 3
- 4x² + x + 3

Jetzt bin ich mir aber nicht sicher, ob das schon alle Polynome sind und ich denke mal, dass man die Polynome auch bestimmt irgendwie berechnen kann, nur leider habe ich keine Ahnung wie...
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduziblen Polynome vom Grad 2 in F5[X]?
Wie man die gesuchten Polynome gezielt bestimmen soll, wüsste ich so auf Anhieb nicht. Es ist aber auch durch Ausprobieren wohl mit vertretbarem Aufwand zu bewältigen.

Wieviele solche irreduziblen Polynome es gibt, kann man sich aber durchaus schon im Voraus überlegen. Es genügt, sich auf normierte Polynome zu beschränken. Denn wenn das Polynom nicht normiert ist, kann man den Leitkoeffizienten ausklammern (wir sind ja über Körpern) und hat dann sowieso wieder ein normiertes irreduzibles Polynom.

Ein bisschen mit elementarer Kombinatorik: Über gibt es normierte Polynome vom Grad 2. Nun sind aber fünf davon von der Form , wobei . Die sind natürlich reduzibel. weitere Polynome scheiden aus, weil sie von der Form sind, wobei mit . Es verbleiben also allein schon genau 10 normierte irreduzible Polynome vom Grad 2. Du hast also noch lange nicht alle gefunden!

Ich würde es wie gesagt erstmal auf normierte Polynome beschränken. Dann bleiben noch 25 übrig. Das Absolutglied darf natürlich nicht 0 sein, sonst wäre ja und damit reduzibel. Bleiben 20 Polynome, die man halt eben durchprobiert. Wenn man die normierten irreduziblen Polynome alle gefunden hat, kriegt man die restlichen ja auch sofort mitgeliefert (nur noch mit den anderen möglichen Leitkoeffizienten durchmultiplizieren und fertig).

PS: Man kann auch ganz allgemein zeigen, dass es über insgesamt irreduzible Polynome vom Grad gibt.
Lalala1234 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Irreduziblen Polynome vom Grad 2 in F5[X]?
Vielen, vielen Dnak für die Hilfe!
Hab jetzt alle 40 Polynome gefunden und es war wirklich weniger Arbeit, als gedacht smile
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