Wie ziehe ich eine Zahl schrittweise von sich selbst ab? Mathematische Schreibweise?

20.04.2014, 13:46

Levaru

Wie ziehe ich eine Zahl schrittweise von sich selbst ab? Mathematische Schreibweise?

Meine Frage:
Ich weis leider nicht ob das hier Schulmathematik ist jedoch interessiert mich die mathematische Schreibweise des folgenden Vorgangs:

Ich möchte die Variable n schrittweise von sich selbst subtrahieren oder addieren bis es entweder 0 erreicht oder seinen eigenen Wert.

Beispiel:

n=8

8-8;8-7;8-6....8-1;8-0

oder

8+0;8+2....8+7;8+8

nun das ist mit Zahlen einfach aber ich frage mich wie so etwas allgemein aufschreiben kann.

Meine Ideen:
Ich habe nicht die geringste Ahnung :/

21.04.2014, 08:01

Bürgi

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RE: Wie ziehe ich eine Zahl schrittweise von sich selbst ab? Mathematische Schreibweise?
Frohe Ostern!

Wenn ich Deine Frage richtig verstanden habe, beschreibst Du mit Deinen Rechnungen eine arithmetische Folge (<-- Google ist an Deiner Seite!).

Dein erstes Beispiel:

Wenn n eine natürliche Zahl ist und $\begin{eqnarray*} \displaystyle a_n \end{eqnarray*}$ das Folgeglied mit der Nummer n beschreibt, so ist Deine Zahlenfolge zu berechnen durch:

$\begin{eqnarray*} a_n = 8 - (8 - n) = n,~n \in \lbrace 0,1, ... 8 \rbrace \end{eqnarray*}$

d.h. z.B.: $\begin{eqnarray*} a_5 = 8-(8-5)=5 \end{eqnarray*}$

Dein zweites Beispiel beschreibt ebenfalls eine arithmetische Folge.

21.04.2014, 18:53

Levaru

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Ok und wie schreibe ich das ohne Zahlen ganz allgemein auf?

z.B. möchte ich folgendes Beispiel allgemein ausdrücken, was heißen soll das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ nicht definiert ist.

$\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{n+3}}{n+0} \times \frac{x^{n+2}}{n+1} \times \frac{x^{n+1}}{n+2} \times \frac{x^{n+0}}{n+3} \end{eqnarray*}$

Hier ist es ja nicht schwer bei 3 aufzuhören weil ich ja weis das $\begin{eqnarray*} n=3 \end{eqnarray*}$ ist.

Wie drücke ich aber z.B. $\begin{eqnarray*} n+(n-1) = n+2 \end{eqnarray*}$ ohne die natürlichen Zahlen aus?

21.04.2014, 19:28

Levaru

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etwa so vielleicht?

$\begin{eqnarray*} n+a_{n} \end{eqnarray*}$

wenn ja wie leg ich dann fest ob es auf- oder abzählen soll?

21.04.2014, 21:09

Bürgi

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Guten Abend,

es würde mich schon interessieren, wozu Du das brauchst und in welchem Zusammenhang diese Fragen aufgetaucht sind.

Seien p und q natürliche Zahlen, die bekannt sein müssen, dann ist

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{p+q-0}}{p+0} \times \frac{x^{p+q-1}}{p+1} \times \frac{x^{p+q-2}}{p+2} \times \frac{x^{p+q-3}}{p+3} = \prod \limits_{i=0}^3 \left(\frac{x^{p+q-i}}{p+i} \right)~ p,q\ \in \ \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

21.04.2014, 21:57

Levaru

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Ok, ok ich verrats schon Big Laugh

Ich wollte diese Formel $\begin{eqnarray*} (x-a)^n \end{eqnarray*}$ allgemein auflösen. Bei meiner Suche nach einem bereits fertigen Beispiel bin ich auf Wiki gestoßen Binomischer Lehrsatz.

Dort stand folgendes Beispiel:

http://upload.wikimedia.org/math/f/8/1/f81d7a9bebad663e43cc75e0603c260d.png

Ich sage schonmal im vorraus das ich mir die Seite nicht durchgelesen habe da ich die Hälfte der math. Begriffe nicht verstehe und einfach nur interessiert war wie ich denn nun das oben aufgeführte Beispiel $\begin{eqnarray*} (x+y)^3 \end{eqnarray*}$ auflöse wenn stattdessen stehen würde $\begin{eqnarray*} (x+y)^n \end{eqnarray*}$ .

Da kommt ja das $\begin{eqnarray*} $n \choose k$ \end{eqnarray*}$ ins Spiel wo eben nun das $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} (x+y)^n \end{eqnarray*}$ , schrittweise aufgezählt wird:

$\begin{eqnarray*} $n \choose n-(n-1)$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $n \choose n-(n-2)$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} $n \choose n-(n-3)$ \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \cdot \cdot \cdot \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 11:26

Bürgi

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Guten Morgen,

so etwas Ähnliches habe ich mir schon gedacht Augenzwinkern

Ich nehme an, dass Du mehr an einem Rechenweg interessiert bist, denn alles, was darüber hinausgeht, wäre im Rahmen dieses Forums nicht leistbar.

1. $\begin{eqnarray*} (x+a)^n \end{eqnarray*}$ is eine Summe aus (n+1) Summanden, weil die Nummerierung bei Null anfängt:

$\begin{eqnarray*} (x+a)^n = \sum \limits_{k=0}^n\left(\begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix}x^{n-k} a^k \right) \end{eqnarray*}$
Wie Du siehst fängt man bei den Potenzen von x mit dem höchsten Wert (n) an und zählt herunter bis null und bei den Potenzen von a fängt man bei null an und zählt herauf bis n.

2. Jeder Summand besteht aus einem Koeffizienten, einer Potenz in x und einer Potenz in a. Die Summe der Exponenten muss immer n ergeben.

3. Der Binominalkoeffizient wird folgendermaßen berechnet:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix} = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!} \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot .... \cdot n \end{eqnarray*}$ bedeutet.

4. Ein Beispiel:

Du möchtest gern (in echt? verwirrt

) den 9. Summanden von $\begin{eqnarray*} (x+a)^{15} \end{eqnarray*}$ berechnen. Dann ist k = 8. Also brauchst Du
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}15 \\ 8\end{pmatrix} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot ... \cdot 1}{(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot ... \cdot 1)(7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot ... \cdot 1)} = \frac{15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8}{(8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot ... \cdot 1)} = 6435 \end{eqnarray*}$

d.h., Dein Summand heißt jetzt vollständig: $\begin{eqnarray*} 6435 \cdot x^7 a^8 \end{eqnarray*}$

5. Wenn Du - wie in Deinem Text angedeutet - $\begin{eqnarray*} (x-a)^n \end{eqnarray*}$ berechnen willst, muss der Binominalkoeffizient ergänzt werden, weil die Summanden mit einem ungeraden k negativ werden:

$\begin{eqnarray*} (x-a)^n = \sum \limits_{k=0}^n\left((-1)^k \cdot \begin{pmatrix}n \\k \end{pmatrix}x^{n-k} a^k \right) \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 13:35

Levaru

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Ahaa!

Jetzt verstehe ich das! Dieses Zeichen $\begin{eqnarray*} \sum \end{eqnarray*}$ drückt ja eine Summe aus. So wie ich dies jetzt nun verstanden habe drückt $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ da drüber die Zahlenmenge aus und $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ darunter den Anfang? verwirrt

Ich habe ja versucht das ganze ungefähr so darzustellen:
$\begin{eqnarray*} \left({n \choose k} \cdot x^{n-k} \cdot a^{k} \right)+\left({n \choose k} \cdot x^{n-k} \cdot a^{k} \right)+\left({n \choose k} \cdot x^{n-k} \cdot a^{k} \right) \end{eqnarray*}$ usw...

Jetzt muss ich aber zugeben(ich wollte nicht 2 verschieden Sachen durcheinander werfen...) das ich leider nicht weiß wie man einen Binomialkoeffizienten integriert. traurig

Denn damit hat meine Überlegung angefangen. Ich wollte $\begin{eqnarray*} (x+a)^n \end{eqnarray*}$ integrieren aber ohne vorher die Klammer aufzulösen. Deshalb habe ich versucht sie zuerst allgemein aufzulösen um dann zu integrieren wo nun aber das vorherige Problem mir im Weg stand.

Ist es nun möglich $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \left({n \choose k} \cdot x^{n-k} \cdot a^{k} \right) \end{eqnarray*}$ zu integrieren? Und wenn ja, wie?

Ich versuch es mal aber ohne jegliche Ahnung ob es richtig ist...
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^n \left(a^{k} \cdot {n \choose k} \cdot \left( \frac{1}{n-k+1} \right) \cdot x^{n-k+1} \right) \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 16:26

Bürgi

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Hallo,

langsam wird es richtig spannend, wo wir zum Schluss landen werden ... verwirrt

Zitat:

Ist es nun möglich $\begin{eqnarray*} (x+a)^n \end{eqnarray*}$ zu integrieren? Und wenn ja, wie?

Da die Ableitung für konstantes, reelles a $\begin{eqnarray*} \frac{d(x+a) }{dx}=1 \end{eqnarray*}$ ist, kannst Du die Potenzregel der Integralrechnung anwenden.

$\begin{eqnarray*} \int\left( (x+a)^n\right)dx = \frac1{n+1}(x+a)^{n+1} + C \end{eqnarray*}$

22.04.2014, 16:30

Levaru

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Ok ich hab nochmal nachgerechnet mit anderen Beispiel und es scheint zu stimmen.

$\begin{eqnarray*} f(x)=(x+a)^n \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} F(x)= \sum\limits_{k=0}^n \left( {n \choose k} \cdot a^{k} \cdot \frac{x^{n-k+1}}{n-k+1} \right) \end{eqnarray*}$

Mir ist aber aufgefallen das sich eigentlich nix verändert hat. Die Schreiberei wird nicht kürzer und die Klammer wird sowieso aufgelöst. Im Grunde ist es das Gleiche was ich bis jetzt immer gemacht habe nur in einer allgemeinen Form.

Ich vermute aber das es trotzdem eine andere(kürzere) Form geben müsste ohne die Summanden einzeln jedes mal aufzustellen und am Ende addieren. verwirrt

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