Skalarprodukt

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ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »
Skalarprodukt
Meine Aufgabe:
Ich soll zeigen, dass mit x,y € V (IR-Vektorraum)



Meine Idee:



Ich mach hier irgendetwas falsch, weiss aber nicht was. Denn auf die Lösung scheint das nicht hinauszulaufen unglücklich
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mensch, da hat sich der Fehlerteufel eingeschlichen. Ich meine

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Hm, sieht so aus, als hättest du den Zusammenhang zwischen Skalarprodukt und Norm nicht verstanden

Wende das jetzt auf an und Benutze die Bilinearität des Skalarproduktes
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Mensch da hat sich wieder der Fehlerteufel eingeschlichen xD.

Es muss heißen



Da ich das aber nur auf den ersten Term anwenden soll gilt



Daraus folgt



Jetzt sicher die sesquilität anwenden oder? Sofern das richtig ist. Wink
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Das ist immer noch falsch. Die Wurzel hat da nichts verloren.
Betrachte der Übersichtlichkeit halber nur den ersten Summanden, den zweiten machen wir anschließend analog.
Wir haben also und ja, jetzt nochmal die Linearität anwenden.
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schön! Wieso gehört denn aber nicht die Wurzel hin? Also wenn man es ganz ausführlich schreiben will.

Ich denke es gilt



Und da ebend ein Quadrat vorhanden ist folgt



Da sich ja die Wurzel + Quadrat auflösen...

Zurück zur Aufgabe. Ich komme dann auf folgendes

 
 
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Pardon, du hast Recht, die Wurzel ist so korrekt allerdings auch überflüssig und deshalb habe ich sie gleich mal als falsch identifiziert Big Laugh
Sonst richtig, jetzt für x-y , dann addieren und fertig.
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Ich bin mir beim zweiten Term etwas unsicher wegen den negativen Werten. Ich habe herraus:



So richtig ? verwirrt
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich meine

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Nein, der gemischte Term ist falsch
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr, aber was ist denn genau falsch? Ich bin jetzt nämlich dreimal durch die Gleichung vollständig durchgegangen und habe sie auch mit der ersten Gleichung verglichen und ebenfalls die Bilinearirtät (denke ich) korrekt angwendet und ich finde leider gar keinen Fehler.
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ah, ich hatte deine Korrektur nicht gesehen, bevor ich geantwortet habe. Die zweite Version ist korrekt.
Jetzt musst du nur beide Gleichungen addieren
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe noch mal eine Frage, damit ich das nun ganz lösen kann. Gilt <-y,-y>=-<y,-y>=-<-y,y>=<y,y> Oder darf man nur eine Konstante (Hier die -1) herausziehen?

Weil dann komm ich insgesamt auf 2<x,x>+2<y,y>
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Das Skalarpordukt über einem R-Vektorraum ist bilinear, du kannst also aus jedem Faktor einen Skalar herausziehen
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

So, dann hab ich es jetzt raus! Ausklammern und dann

anwenden. Danach ist man fertig. Freude Danke sehr!


Ich soll dann als letzte Aufgabe noch das lösen (zeigen). Die Vektoren x,y € V sind genau dann linear abhängig, wenn

| <x,y>|=| | x | |* || y | | .

Ich probiere das mal nun aus, wenn ich Probleme habe dann werde ich mich hier nochmal melden.

Nochmals danke für die Hilfe. Freude Wink
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ich sollte lieber mal nachfragen. Worin besteht der Unterschied zwischen



und



Bei letztem genannte folgt

DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ShinChun
Hmm ich sollte lieber mal nachfragen. Worin besteht der Unterschied zwischen



und





Das Erste ist einfach der Betrag des Skalarproduktes, da ein Skalarprodukt ja auch negativ sein kann.

Beispiel:

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und ist gar nicht definiert, weil <x,y> ein Skalar und kein Vektor ist.
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Danke sehr!

Aber ich bekomm es irgendwie nicht hin. Mir ist zwar klar, dass es sich um einen Allgemein Fall der Cauchy-Schwarz Ungleichung handelt, aber so wie bei der ersten Aufgabe klappt das hier nicht so ganz. Meine Idee war es ja erst einmal die Gleichung von Links nach Rechts zu zeigen. Also



und danach äquivalient hin und her formen, aber das führt mich irgendwie nicht zur Lösung.
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Fang mal damit an, dass x und y linear abhängig sind, das ist der einfachere Teil.
Und keine Wurzeln! Big Laugh Nur Linearität des Skalarproduktes, mehr brauchst du nicht.
Wäre übrigens besser, dafür eine neue Frage zu stellen.
ShinChun Auf diesen Beitrag antworten »

Soll ich einen Thread eröffnen oder was meinst du mit neuer Frage? verwirrt

Da x und y linear abhängig sind -> / <x,y> /=0 Das ist das einzige was mir einfalen würde.
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ja, neuer thread.
Da ist dir aber nichts gutes eingefallen, das ist falsch Augenzwinkern
könnte einem einfallen, wenn x und y linear abhängig sind.
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