Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (Gleichheit beweis - Linear abhängige Vektoren) |
| 21.04.2014, 18:20 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Cauchy-Schwarzsche Ungleichung (Gleichheit beweis - Linear abhängige Vektoren) Zu zeigen ist: Die Vektoren x,y € V sind genau dann linear abhängig, wenn gilt. Da die Vektoren x,y linear abhängig sind, können sie als Linearkombination dargestellt werden von je dem anderen linear abhängigen Vektor. Das heißt es gilt außerdem x=»y bzw. y=»x Die Gleichung ist erfüllt wenn y=0 ist. Wie ist bei y ungleich 0 aussieht weiss ich noch nicht, da es doch auf den expliziten Wert der Vektoren ankommt oder? |
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| 21.04.2014, 18:23 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
» soll eigentlich ein Lambda sein. xD |
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| 21.04.2014, 18:35 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
nein, es kommt nicht auf den speziellen Wert der Vektoren an. Setze in das Skalarprodukt ein, nutze Linearität und dann stehts der erste Teil schon fast da. |
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| 21.04.2014, 18:45 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn ich das aber mache verschwindet denn nicht x volständig aus der Gleichung? Also /<x,y>/=/t<y,y/ Ich habe hier t anstelle Lambda genutzt. |
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| 21.04.2014, 18:52 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
ich werde dir jetzt nicht jeden Schritt vorkauen. Bisher sehe ich noch keine Norm |
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| 21.04.2014, 19:25 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich probiere hier alles aus aber es scheint nicht zu funktionieren, weil ich danach direkt kein Ansatz habe. Du meinst das mir x=yt weiterhilft, da es die lineare abhängigkeit der zwei Vektoren x und y beschreibt. Jetzt habe ich gedacht entweder anstelle x yt einzusetzen. Das ist aber schwachsinn, da die Gleichuung nicht mehr x enthält. Dann habe ich gedacht es mit der äquivalenz x-yt=0 auszuprobieren, was mir ebenfalls nicht weiterhilft. Ich habe nur verstanden wie man es für y bzw. x=0 zeigen kann. Diese Aufgabe liegt definitiv über meinen Grenzen. 
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| 21.04.2014, 19:29 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
du hast x=ty in die linke Seite von eingesetzt und bist bei |t<y,y>| gelandet. Wenn du nicht weiter kommst, warum setzt du dann x=ty nicht mal in die rechte Seite der Gleichung ein und versuchst das wieder zu erkennen, was du aus er linken Seite gemacht hast? |
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| 21.04.2014, 19:45 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, das hätte ich mal probieren sollen. Sowas sollte ich mir mal unbedingt merken. Dann komm ich mithilfe x=ty, da Lineare unabhängigkeit gilt. ||x||*||y||=||ty||*||y||=wurzel(<ty,ty>*<y,y>)=wurzel(t^2 * <y,y>*<y,y>)=wurzel(t^2)*wurzel(<y,y>*<y,y>)=wurzel(t^2)*wurzel((<y,y>)^2)= t<y,y> Vergleich mit linke Seite der Gleichung: |<x,y>|=|<ty,y>|=|t<y,y>|. Ist das so denn richtig? |
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| 21.04.2014, 19:55 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
auf der rechten Seite steht also t<y,y> auf der linken |t<y,y>| und nun? Fällt dir da nicht auf, dass bei dem Term der rechten Seite etwas fehlt?? 
und wenn dir das auffällt, wo könnte denn der Betrag auf der rechten Seite verloren gegangen sein? Das kommt davon, wenn man überflüssigerweise Wurzeln ins Spiel bringt
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| 21.04.2014, 20:03 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, stimmt du hast schon recht aber ich weiss nicht wo mein Fehler liegt, weil ich ganz stumpf gerechnet habe so wie es mir bekannt ist. Also kannst du mir sagen wo mein Rechenfehler liegt, weil ich darin keinen wriklich erkennen kann. |
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| 21.04.2014, 20:04 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
wurzel(t^2)=? |
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| 21.04.2014, 20:11 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Stimmt, du meinst das wurzel(t^2)=t eine konstante ist die negativen oder positiven Wert annehmen kann. Deshalb muss das im Betrag stehen oder? |
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| 21.04.2014, 20:17 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
es ist immer wurzel(t^2)=|t| Übrigens wäre es einfach so gegangen Bei linear abhängigen Vektoren gilt also Gleichheit in der Cauchy-Schwarzschen-Ungleichung. Willst du die andere Richtung auch versuchen? |
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| 21.04.2014, 20:27 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ja, das will ich unbedingt verstehen. Aber vorab. Wie kommt man auf folgenden Term: Ich meine hier den rechten Term. Meine Idee: Wo liegt der Fehler? Denn es gilt doch <y,y>=||y||^2 |
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| 21.04.2014, 20:33 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
, also kannst du den Betrag weglassen. |
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| 21.04.2014, 20:55 | ShinChun | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke schön 
Die Aufgabe ist zwar bereits gelöst, aber ich will nochmal kurz bitte zur wurzel(t^2)=|t| zurückkommen. Ich bin hier an diesem Punkt etwas verwirrt wieso denn das nun genau gelten soll. wurzel(x^2) wäre doch in einer Gleichung auch nur x, wenn ich mich nicht irre. Oder irre ich mich da etwa ? Und wenn nur wurzel(t^2)=|t| gilt, was ist mit dem Rest des Terms, nämlich wurzel((<y,y>)^2) Muss das ebenfalls in Betragsstrichen stehen, genau aus demselben Grund wie ersteres? |
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| 21.04.2014, 21:09 | URL | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du irrst. Beispiel liefert bei mir mit den beiden Lösungen x=3 und x=-3 Du kommst auf und damit verschwindet eine Lösung. und das hatten wir vorhin schon Edit: Die eine Richtung der Aufgabe ist bisher gelöst. Da fehlt schon noch etwas 
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