Untergruppe der Allgemeinen linearen Gruppe

21.04.2014, 23:06

akamanston

Untergruppe der Allgemeinen linearen Gruppe

so hello agian,

noch eine kleine aufgabe. wenn eine moderator lust hat, kann er den titel auch anpassen.

eine matrix $\begin{eqnarray*} C \in GL(n,R) \end{eqnarray*}$ werde festgehalten.

a) eige, dass die matrizen $\begin{eqnarray*} A \in GL(n,R) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A * C = C * A \end{eqnarray*}$ eine untergruppe von $\begin{eqnarray*} GL(n,R) \end{eqnarray*}$ bilden.

b) bestimme diese gruppe für n = 2 und $\begin{eqnarray*} C= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \\ \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

leider hab ich bei der aufgabe keine ahnung. ich denke die b könnte ich hinbekommen wenn ich die a durchblicke

hoffe mir kann jemand helfen

21.04.2014, 23:27

Mulder

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RE: Matrix??!!
Was ist denn an a) nicht klar geworden? Da musst du schon ein bisschen präziser werden.

Gemeint ist mit $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(n, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ die Allgemeine lineare Gruppe. Aus dieser Gruppe wird eine feste Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ rausgepickt. Und du sollst nun untersuchen, ob die Menge aller Matrizen aus $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(n, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ , die mit dieser Matrix $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommutieren, eine Untergruppe von $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(n, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ bilden.

Einfach stur die Untergruppenkriterien durchgehen. Das ist nur Rechnen.

Edit: Threadtitel angepasst.

22.04.2014, 15:56

akamanston

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RE: Matrix??!!
Gibt es einen Unterschied zu der Aufgabe im anderen Thread?

22.04.2014, 16:33

Mulder

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RE: Matrix??!!
Keine wesentlichen.

Am ehesten findest du das allerdings raus, wenn du auch mal mit den Aufgaben beginnst.

22.04.2014, 16:56

akamanston

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RE: Matrix??!!
hi,

aber bei der aufgabe a ist kein n gegeben. muss ich dann eine n-dimensionale matrix wählen? oder kann ich einfach A als 2x2 matrix wählen und C auch? dann einfach multiplizieren^^
du schreibst das einfach so salopp hin, ich weiß aber nicht worums geht.

$\begin{eqnarray*} GL(2,R)=\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & c \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und
$\begin{eqnarray*} GL(3,R)=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ 0 & g & h \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

ist das überhaupt schon mal richtig?

wie sieht dann die zugehörige allgemeine matrix aus, die ich hier wohl benötige?

22.04.2014, 17:20

Mulder

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RE: Matrix??!!

Zitat:

Original von akamanston
aber bei der aufgabe a ist kein n gegeben. muss ich dann eine n-dimensionale matrix wählen? oder kann ich einfach A als 2x2 matrix wählen und C auch?

Natürlich nicht. Du musst das allgemein für n machen. Über C weiß man an sich nichts. Ist auch nicht nötig. Alles, was man weiß, ist, dass C eine invertierbare nxn-Matrix ist.

In dem anderen Thread stehen doch die Untergruppenkriterien. Die arbeitest du hier einfach ab.

Beim ersten ist nach einem neutralen Element gefragt. Bezüglich der Matrizenmultiplikation ist das immer die Einheitsmatrix, nennen wir die mal E. Die Einheitsmatrix kommutiert mit jeder beliebigen Matrix, weil sie eben das neutrale Element ist. Es gilt also $\begin{eqnarray*} E*C = C*E \end{eqnarray*}$ . Neutrales Element haben wir also. Und um das zu zeigen, mussten wir nicht wissen, was nun C ist. Und bei den anderen beiden Kriterien, die ich nun dir überlasse, brauchst du das auch nicht zu wissen.

Dein GL(2,R) und GL(3,R) sind falsch. In GL(n,R) liegen alle invertierbaren Matrizen. Es ist z.B. nicht notwendig, dass der Eintrag unten links 0 ist. Du brauchst eine solche Darstellung mit den ganzen Komponenten aber auch wie gesagt nicht.

22.04.2014, 17:57

akamanston

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RE: Matrix??!!
hm, jetzt muss man wohl kreativ werden.

iim anderen beipiel habe ich das inverse mit der einheitsmatrix gezeigt. (E | A )
das fällt aber hier ja raus.
wir haben ja
AC=CA
und
EC=CE

kann ich vlt sagen A=E ; A*C^-1 = E*C^-1 = C^-1 , das ist totale Verzweiflung^^

Und bei der Abgeschlossenheit sage ich einfach A*C ist element U. Ich versichere es auch!

edit:
nachtrag zum inversen.
A und C sind ja e GL
also weil beide Matrizen in GL liegen, gibt es zu jeder matrix ein ein inverses

22.04.2014, 18:37

Mulder

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RE: Matrix??!!
So wird das nichts. unglücklich

Die Teilmenge, dir wir gerade betrachten, nenne ich mal $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ im Folgenden. Zeigen wollen wir jetzt erstmal, dass $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist.

Seien $\begin{eqnarray*} A,B \in U \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} AC=CA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BC=CB \end{eqnarray*}$ . Zu zeigen ist, dass dann auch $\begin{eqnarray*} AB \in U \end{eqnarray*}$ ist. Das ist erfüllt, wenn $\begin{eqnarray*} (AB)C=C(AB) \end{eqnarray*}$ gilt, die Matrix $\begin{eqnarray*} AB \end{eqnarray*}$ also mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommutiert. Dann mal los:

$\begin{eqnarray*} (AB)C = \, ... \end{eqnarray*}$

Setz das fort. Außer Assoziativgesetz und der Tatsache, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommutieren, brauchst du nichts für diesen Beweis (der in einer Zeile erledigt ist).

23.04.2014, 00:33

akamanston

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RE: Matrix??!!
Also=)

wir haben

$\begin{eqnarray*} A,B \in U \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} AC=CA \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} BC=CB \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (AB)C = A(BC) = A(CB) = (AC)B = (CA)B = C(AB) \end{eqnarray*}$

Richtig? Das Ziel hab ich wohl erreicht. Wie kommst du denn darauf, B einzufügen? Von B war doch bisher noch nicht die rede. Was steckt denn nun für ein sinn hinter so einer rechnung?

Zu Grunde liegt ja folgende definition.
$\begin{eqnarray*} A,B \in U \Rightarrow A \circ B \in U \end{eqnarray*}$

ich möchte das ganze ja verstehen. aber wie kommst du von der definition auf die obige klammerrechnung. woher soll ich wissen, dass nun das assoziativgesetz benutzt werden muss.

zuletzt muss ich "nur" noch das Inverse zeigen.

Sei
$\begin{eqnarray*} A = E \end{eqnarray*}$
, dann gilt
$\begin{eqnarray*} A \circ A^{-1} = E \circ A^{-1}=A^{-1} \in U \end{eqnarray*}$

ist das in irgendeiner weise richtig?

23.04.2014, 15:25

Mulder

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RE: Matrix??!!
Abgeschlossenheit bedeutet, dass die Verknüpfung von zwei Elementen, die in U liegen, auch wieder in U liegt. Also muss ich doch zwei Matrizen hernehmen und das nachweisen. Die hab ich eben A und B genannt. Ich hätte sie auch Klaus und Gustav nennen können, das ist doch egal. Aber ich muss mir doch zwei Elemente hernehmen, um irgendwas in Richtung Abgeschlossenheit zeigen zu können. Geht doch gar nicht anders.

Zitat:

woher soll ich wissen, dass nun das assoziativgesetz benutzt werden muss.

Es ist in der Mathematik nunmal so, dass man auch mal "auf was kommen" muss und die Definitionen anwenden und übertragen kann. Damit musst du dich wohl abfinden. Es hat schon seinen Grund, dass die Mathematik i.A. nicht zu den allereinfachsten Studiengängen gezählt wird. Aber das kann man auch üben. Die Klammern dienen der Verdeutlichung, was man da eigentlich macht. Ob und wie du sie setzt, ist deine Sache. Dein Beweis ist jedenfalls richtig. Damit ist gezeigt, dass die Matrix AB (die das Produkt der beiden Matrizen A und B ist) mit C kommutiert.

Bei dem Inversen weiß ich ehrlich gesagt gar nicht, was du da gemacht hast. A mit der Einheitsmatrix gleichgesetzt? Wozu? Gezeigt hast du damit überhaupt nichts.

Du musst zeigen: Wenn A mit C kommutiert, dann kommutiert auch das Inverse von A mit C. Das, was du da machst, ist meilenweit davon entfernt. C taucht in der Rechnung ja noch nicht einmal auf.

24.04.2014, 00:19

akamanston

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RE: Matrix??!!
hi, mir gefällt dein erboster ton. genau das brauche ich.

ich habe jetzt mal was abgecheckt zum inversen.

$\begin{eqnarray*} A \in U \end{eqnarray*}$ heißt invertierbar, wenn $\begin{eqnarray*} AA^{-1}= A^{-1} A= E \end{eqnarray*}$
Das ist wohl schon mal eine ganz wichtige Info. Ich weiß jetzt nur nicht wie ich das C einbinden soll.

ist das etwas der richtige Weg?
$\begin{eqnarray*} (AA^{-1})C = ... = C(AA^{-1}) \end{eqnarray*}$

und was genau hat es mit der aufgabe b) auf sich,ich dachte ich bekomme das hin. aber no way. wo soll ich denn da n=2 einsetzen.

24.04.2014, 15:20

Mulder

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RE: Matrix??!!

Zitat:

Original von akamanston
ist das etwas der richtige Weg?
$\begin{eqnarray*} (AA^{-1})C = ... = C(AA^{-1}) \end{eqnarray*}$

Nein. Du willst nicht zeigen, dass $\begin{eqnarray*} AA^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommutiert, sondern dass $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommutiert. $\begin{eqnarray*} AA^{-1} \end{eqnarray*}$ ist doch ohnehin die Einheitsmatrix und dass die mit $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ kommutiert, muss man nicht zeigen, das ist sowieso klar, weil sie das neutrale Element dieser Gruppe ist.

Zu zeigen ist: $\begin{eqnarray*} A^{-1} C = ... = C A^{-1} \end{eqnarray*}$ . Unter der Voraussetzung, dass $\begin{eqnarray*} AC=CA \end{eqnarray*}$ schon erfüllt ist (das darf man im Beweis also benutzen. Und muss man auch)

Zitat:

Original von akamanston
und was genau hat es mit der aufgabe b) auf sich,ich dachte ich bekomme das hin. aber no way. wo soll ich denn da n=2 einsetzen.

Du sollst da vom allgemeinen n weg und mal ein konkretes Beispiel betrachten. In b) betrachten wir $\begin{eqnarray*} \mathrm{GL}(2, \mathbb R) \end{eqnarray*}$ , also die Gruppe aller invertierbarer 2x2-Matrizen. Und für $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ wird jetzt auch eine explizite Beispielmatrix gewählt. Also genau das, was du oben liebend gerne für Aufgabe a) getan hättest, darfst du in b) wirklich tun.

Hast du denn eigentlich mittlerweile wirklich verstanden, was für eine Untergruppe wir uns hier grad überhaupt anschauen bei diesen Aufgaben? Hast du genau verstanden, was GL(n,R) ist und welche Teilmenge wir uns anschauen?

25.04.2014, 10:48

RavenOnJ

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RE: Untergruppe der Allgemeinen linearen Gruppe
Was du suchst, ist der Stablisator von $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Vielleicht schreibst du die Beziehung $\begin{eqnarray*} AC = CA \end{eqnarray*}$ besser als $\begin{eqnarray*} ACA^{-1} = C \end{eqnarray*}$ . Dann kannst du möglicherweise eher erkennen, dass mit $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} A^{-1} \end{eqnarray*}$ Element des Stabilisators ist.

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