Münzwurfvorhersehen: Wahrscheinlichkeit fürs Hellsehen

23.04.2014, 20:43

Luuiissa

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Münzwurfvorhersehen: Wahrscheinlichkeit fürs Hellsehen

Meine Frage:
Hallo,

Wir hatten in der Schule noch keine Wahrscheinlichkeitsrechnung, aber ich habe angefangen mich rein zu lesen und bin auf folgende aufgabe gestoßen:

Schreiben sie eine Liste von 1-10 und notieren sie hinter jeder Zahl, ob si wohl Kopf oder Zahl werfen.

Werfen sie 10 mal eine Münze und notieren sie, wie oft sie mit ihrer Vermutung richtig lagen

Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie hellsehen können?

Meine Ideen:

Ich lag 6 mal richtig

Meine Ideen:

Die Wahrscheinlichkeit, dass ich immer richtig liege ist bei 50%
Ich liege 10% darüber, also ist die Wahrscheinlichkeit, dass ich hellsehen kann bei 10%

schätze aber mal, dass es so leicht nicht ist :-)

Es war auch ein Beispiel dabei, wie andere Schüler abschneiden, ist das wichtig für die Aufgabe?

24.04.2014, 00:09

Bonheur

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Hey !

Derartige Zufallsexperimente, bei denen Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, werden als Laplace-Experimente bezeichnet.
Und dieser Münzwurf ist ein Laplace-Experiment.
Deshalb kann man nicht voraussagen, ob man nun "Kopf" oder "Zahl" bekommt. Du kannst aber dein Ergebnis auswerten.
Du lagst sechsmal richtig. Insgesamt hast du zehnmal geworfen, davon lagst du sechsmal richtig. Wieso beträgt dann die Wahrscheinlichkeit 10 %, wenn du doch sechs mal richtig lagst ?

24.04.2014, 08:39

luuiissaa

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Es soll darum gehen, wie wahrscheinlich es ist, dass ich übersinnliche Fähigkeiten habe und hellsehen kann.

Ich dachte, wenn ich 5 mal richtig geworfen hätte, wäre das genau zufällig. Denn die Wahrscheinlichkeit kopf oder Zahl zu werfen beträgt ja je genau 0.5.

Jetzt zu sagen, dass ich mit 60% Wahrscheinlichkeit hellsehen kann, kommt mir da sehr falsch vor.

Deshalb dachte ich, ich gucke mir nur das an, was überzufällig ist.

Aber wie gesagt, ich weiß nicht, wie man das macht.
Wie kann ich da denn weiter kommen?

24.04.2014, 08:50

luuiissaa

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Ich habe mir die Rechnung zum Laplace Experiment gerade durchgelesen, dass ist das, woran ich zuerst gedacht hatte. Also meine 6 durch die zehn möglichen teilen.

Aber die 6 sind ja nicht die, die jetzt Kopf oder Zahl waren, sondern die, die ich richtig "vorhergesehen" habe.

Ich kann dann doch nicht sagen, dass ich mit 60%tiger Wahrscheinlichkeit Hellsehen kann, nur weil ich ein wenig über der Gleichwahrscheinlichkeit liege !?

24.04.2014, 08:59

luuiissaa

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Habe gerade ein anderes Beispiel mit Antwort gefunden, dass auf das hinausläuft, was ich meine:

"Um sich auf mögliche präkognitive Fähigkeiten zu untersuchen, geht man folgendermaßen vor: Du bittest einen Freund, die vier Asse aus einem regulären Kartenspiel mit insgesamt 52 Karten zu entfernen. Anschließend notierst Du auf einem Zettel, wie die Reihenfolge der übrig gebliebenen 48 Karten nach sorgfältigem Mischen Deiner Meinung nach ausfallen wird. Nun bittest Du Deinen Freund, das Kartenspiel intensiv zu mischen. Danach deckt Dein Freund die Karten nacheinander auf schreibt Motiv und Farbe zum direkten Vergleich neben Deinen Angaben nieder.

Deine Zufallsquote bei diesem Test liegt bei einem einzigen Treffer von 48. Eine Erfolgsquote von zwei oder mehr Treffern bedeutet eine Wahrscheinlichkeit von etwa 1 zu 4, was statistisch betrachtet noch nicht sonderlich signifikant ist. Eine Quote von vier oder mehr richtigen Angaben entspricht dagegen einer bemerkenswerten Präkognition mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 zu 50. In jenem Fall wäre es ratsam, weitere Tests zur vertieften Analyse Deiner etwaigen paranormalen Gaben durchzuführen."

Das meinte ich damit, dass ich sehen will, was überzufällig ist.
Die Rechnung ist mir aber noch immer nicht klar. Teile ich vielleicht 5/6. Also die Zufallsquote durch mein Ergebnis?

24.04.2014, 09:08

HAL 9000

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Wir sind ja hier in der Mathematik, nicht in irgendeiner Esoterik-Veranstaltung. Also sollten wir erstmal definieren, was wir hier unter "Hellsehen" verstehen, bevor wir da irgendwas berechnen können. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ich würde darunter verstehen, dass einer mit Hellseherfähigkeiten die Wurfergebnisse sicher voraussehen kann. Führen wir dazu zunächst mal ein paar passende Ereignisse ein:

$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ ... Person kann hellsehen

$\begin{eqnarray*} A_k \end{eqnarray*}$ ... Person hat bei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ Würfen mit einer ungezinkten Münze richtig geraten

Dann ist

$\begin{eqnarray*} P(A_k \mid H) = \begin{cases} 1 & \;\mbox{für}\, k=n \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(A_k \mid H^c) = \binom{n}{k} \frac{1}{2^n} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k=0,1,\ldots,n \end{eqnarray*}$

Außerdem sei der (zunächst) unbekannte Anteil der Hellseher unter den Versuchspersonen gleich $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} P(H)=h \end{eqnarray*}$ .

Dann kann man ganz normal nach Bayesscher Formel

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_k) = \frac{P(H)P(A_k \mid H)}{P(H)P(A_k \mid H) + P(H^c)P(A_k \mid H^c)} = \begin{cases} \frac{h}{h + (1-h)\frac{1}{2^n}} & \;\mbox{für}\, k=n \\ 0 & \;\mbox{sonst} \end{cases} \end{eqnarray*}$

berechnen. In deinem Fall mit $\begin{eqnarray*} n=10,k=6 \end{eqnarray*}$ ist dann einfach $\begin{eqnarray*} P(H \mid A_6) = 0 \end{eqnarray*}$ , also 0% Hellseherfähigkeiten. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Natürlich kann man Hellsehen auch anders definieren, etwa dass man nur in 90% der Fälle richtig liegt o.ä.
In dem Fall würde der Wert dann doch etwas über 0% liegen. Big Laugh

Big Laugh

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24.04.2014, 09:20

luuiissaa

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Also, wie gesagt, ich denke dass mit Hellsehen gemeint ist, in wie fern sich die präkognitive Leistung vom Zufall/ der Gesamtpopulation abhebt.

Es wird also was damit zu tun haben, wie das Verhältnis von Erwarteten Treffern (50%) und tatsächlichen Treffern (60%) ist.

Es soll nicht darum gehen, ob man ans Hellsehen glaubt. habe nach vielem googeln jetzt auch schon öfter gesehen, dass diese Aufgabe Physikern oder Psychologen zum Beginn des Erstsemesters gestellt wird, leider war bei keinem der Skripte eine Antwort dabei.

Also die Aufgabe wird schon irgendwie Sinn machen.

An eine 0%tige Wahrscheinlichkeit glaube ich nicht, da Existenzaussagen in der Stochastik eigentlich nicht gemacht werden.

24.04.2014, 09:24

luuiissaa

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Noch ne Idee,
ich könnte folgendermaßen rechnern:

((6-5)^2)/5

Also die erwarteten Häufigkeiten abziehen von den tatsächlichen Häufigkeiten zum Quadrat und dann durch die erwarteten Häufigkeiten teilen.

Dann gehe ich sicher, dass das Ergebnis positiv ist und habe alles berücksichtigt.
Es wäre ein Verhältnis von 1:5.

24.04.2014, 09:29

luuuiissaa

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Dann noch die Wurzel ziehen, sonst habe ich das Ergebnis ja noch im Quadrat. also Wurzel aus 0.2

24.04.2014, 10:32

HAL 9000

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Zitat:

Original von luuiissaa
An eine 0%tige Wahrscheinlichkeit glaube ich nicht

Es geht nicht um Glaube, sondern um Berechnungen im Rahmen eines bestimmten Modells.

Bei all deinen heuristischen Gedankenspielen zur Hellseherwahrscheinlichkeit solltest du aber eines einbeziehen: Was passiert mit der Hellseherwahrscheinlichkeit, wenn du statt 6 nur 4 Treffer gehabt hättest? Die sollte dann auch nach deinem Modell möglichst nicht negativ werden. Big Laugh

Big Laugh

24.04.2014, 11:29

luuiissaa

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Sie würde ja wegen der Quadrierung auch nicht negativ werden.
Mit glauben hat dies auch nichts zu tun, sondern mit statistischen Definitionen und danach stellt eine statistische Aussage niemals eine Existenzhypothese dar .
Habe jetzt mehr dazu gelesen und es scheint wohl auf Signifikanztests hinauszulaufen (dann ginge mein Ansatz schon in die richtige Richtung).

Ich glaube, dass dich lediglich das Wort Hellsehen stört.

Man kann das ganze auch auf Umfragewerte beziehen und gucken wie weit die vom Zufall abweichen. Gleiche Rechnung.

Und, wie gesagt, ich habe mir die Aufgabe nicht selbst überlegt, weil ich wissen will, ob ich hellsehen kann, sondern einem statistikbuch entnommen.

Und bewiesen wird mit Statistik eh nie etwas, es kann damit lediglich eine Hypothese gestützt werden (wie z.B. gibt es Menschen mit präkognitiven Fähigkeiten oder sind Abweichungen im Antwortverhalten bestimmter Personengruppen überzufällig und damit signifikant)

mag sein, dass wir das in der Schule alles nie lernen werden (weiß ich noch nicht) und du daher nie was davon gehört hast , aber in der Uni kommt sowas (in den meisten Fachbereichen)...soviel habe ich mittlerweile rausgefunden. Stichwort: Signifikanztest.

24.04.2014, 11:41

luuiissaa

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Nur falls es noch jemanden interessiert:

Aus Wikipedia

"Ein statistischer Test dient in der mathematischen Statistik dazu, anhand vorliegender Beobachtungen eine begründete Entscheidung über die Gültigkeit oder Ungültigkeit einer Hypothese zu treffen. Formal ist ein Test also eine mathematische Funktion, die einem Beobachtungsergebnis eine Entscheidung zuordnet. Da die vorhandenen Daten Realisationen von Zufallsvariablen sind, lässt sich in den meisten Fällen nicht mit Sicherheit sagen, ob eine Hypothese stimmt oder nicht. Man versucht daher, die Wahrscheinlichkeiten für Fehlentscheidungen zu kontrollieren, was einem Test zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau entspricht. Aus diesem Grund spricht mMathematikan auch von einem Hypothesentest oder einem Signifikanztest."

24.04.2014, 13:21

HAL 9000

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Zitat:

Original von luuiissaa
Sie würde ja wegen der Quadrierung auch nicht negativ werden.

OK, dann werde ich mal noch genauer: Jedes plausible Modell sollte zur Folge haben, dass die Hellseherwahrscheinlichkeit monoton wachsend in der Anzahl der richtig geratenen Münzen ist:

Wäre irgendwie schlecht zu verkaufen, dass einer der dreimal richtig rät eher ein Hellseher ist als einer der fünfmal richtig rät.

Soviel zu deiner Quadrierung.

Zitat:

Original von luuiissaa
Ich glaube, dass dich lediglich das Wort Hellsehen stört.

Nein, das stört mich nicht. Es stört mich eher. dass du hier seitenweise rumphilosophierst, sinnloserweise die Wikipedia absatzweise abschreibst, aber nicht einmal überhaupt mitkriegst, dass ich ja bereits ein plausibles Modell oben angeführt habe - welches durchaus variiert werden kann, wenn dich die 0% so "stören" (hatte ich oben ebenfalls schon erwähnt):

Wenn ich das obige Modell anpasse, indem ich dem Hellseher statt 1 nur noch Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p<1 \end{eqnarray*}$ für das richtige Erraten jedes einzelnen Münzwurfs zugestehe, d.h. dann mit $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}< p<1 \end{eqnarray*}$ , so ändert sich die Rechnung wie folgt: Es ist dann

$\begin{eqnarray*} P(A_k \mid H) = \binom{n}{k} p^k(1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

und folglich wieder mit Bayes

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_k) = \frac{hp^k(1-p)^{n-k}}{hp^k(1-p)^{n-k} + \frac{1-h}{2^n}} \end{eqnarray*}$ .

Gehen wir außerdem mal von der a-priori-Verteilung $\begin{eqnarray*} h=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ aus und nehmen beispielsweise $\begin{eqnarray*} p=0.9 \end{eqnarray*}$ , so erhalten wir

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_0) \approx 0.0000001 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_1) \approx 0.00000092 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_2) \approx 0.0000083 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_3) \approx 0.0000746 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_4) \approx 0.000671 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_5) \approx 0.00601 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\color{red} P(H \mid A_6) \approx 0.0516} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_7) \approx 0.329 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_8) \approx 0.815 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_9) \approx 0.9754 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(H \mid A_{10}) \approx 0.9972 \end{eqnarray*}$ .

24.04.2014, 17:48

luuiissaa

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Danke für deine Antwort.

Dennoch finde ich deine Art zu Schreiben reichlich aggressiv.
Ich philosophiere nicht, sondern versuche auf Lösungen zu kommen.
Das wird hier im Forum doch immer gewünscht (ohne eigene Ideen keine Antwort).

Ich habe die Aufgabe bereits im Mathe-Hochschulforum gepostet und gleich die Antwort und Erklärung mit dem Signifikanztest bekommen.
Ich will natürlich nicht ausschließen, dass es auch andere Ansätze gibt.

Was du damit meinst, dass man keine höhere Wahrscheinlichkeit bei 3 als bei 4 Münzwürfen bekommen darf verstehe ich nicht, denn genau das "erlaubt" meine Formel ja auch nicht.

Also, danke nochmal für deine Mühe

24.04.2014, 17:52

luuiissaa

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ich meinte nicht 3 o. 4 Münzwürfe, sondern "jemand der 3 mal richtig rät und jemand der 5 mal richtig rät"

Dein obiges Modell habe ich mir durchaus angeguckt, ich bin auch dankbar für die Mühe, finde es aber für die Fragestellung nicht sinnvoll. Daher habe ich, wie du sagst, noch weiterphilosophiert,

24.04.2014, 18:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von luuiissaa
Was du damit meinst, dass man keine höhere Wahrscheinlichkeit bei 3 als bei 4 Münzwürfen bekommen darf verstehe ich nicht, denn genau das "erlaubt" meine Formel ja auch nicht.

Nun, da habe ich diese Idee wohl falsch gedeutet:

Zitat:

Original von luuiissaa
Noch ne Idee,
ich könnte folgendermaßen rechnern:

((6-5)^2)/5

Also die erwarteten Häufigkeiten abziehen von den tatsächlichen Häufigkeiten zum Quadrat und dann durch die erwarteten Häufigkeiten teilen.

Dann gehe ich sicher, dass das Ergebnis positiv ist und habe alles berücksichtigt.

Also:

5 richtige Versuche --> Hellseherwahrscheinlichkeit ((5-5)^2)/5 = 0
4 richtige Versuche --> Hellseherwahrscheinlichkeit ((4-5)^2)/5 = 1/5
3 richtige Versuche --> Hellseherwahrscheinlichkeit ((3-5)^2)/5 = 4/5

Egal, ob du da noch Wurzel ziehst oder nicht, es ist verkorkst.

Zitat:

Original von luuiissaa
Ich habe die Aufgabe bereits im Mathe-Hochschulforum gepostet und gleich die Antwort und Erklärung mit dem Signifikanztest bekommen.

Was willst du denn hier "testen"? Ich erinnere nochmal an die Originalfrage:

Zitat:

Original von Luuiissa
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie hellsehen können?

Genau dieses Ziel habe ich in all meinen Antworten verfolgt, in Ermangelung konkreter Vorgaben deinerseits mit gewissen Modellannahmen zur "Hellseherfähigkeit". Wenn du etwas anderes wissen willst als diese Wahrscheinlichkeit, dann frag doch auch anders. Andernfalls sehe ich hier weit und breit keinen Bedarf nach Siginfikanztests.

Zitat:

Original von luuiissaa
Dein obiges Modell habe ich mir durchaus angeguckt, ich bin auch dankbar für die Mühe, finde es aber für die Fragestellung nicht sinnvoll.

Ja, da bist du durchaus kompetent, das zu entscheiden. Zum Glück passt dein Modell ja super. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2014, 20:27

Bonheur

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Zitat:

Original von luuiissaa
Es soll darum gehen, wie wahrscheinlich es ist, dass ich übersinnliche Fähigkeiten habe und hellsehen kann.

Eines verstehe ich immer noch nicht. Da wir ja hier offenbar von einer ungezinkten Münze sprechen und man vielleicht zufällig sechsmal richtig lag, ändert sich doch nicht die Wahrscheinlichkeit, "Kopf" oder "Zahl" zu bekommen.
Angenommen man wirft die Münze zehnmal und liegt zehnmal richtig, dann beträgt die Hellseherwahrscheinlichkeit nach "luuissaa" Interpretation 100 %, welches allerdings eher unwahrscheinlich ist, denn wenn man nun weiter die Münze wirft und dieses mal nicht richtig liegt, haben wir einen Widerspruch, welcher wiederspiegelt, dass es auch etwas mit Glück zu tun hat.
Angesichts der Tatsache, dass dieses Zufallsexperiment ein Laplace-Experiment ist, bin ich der Meinung, dass es keine Hellseherwahrscheinlichkeit gibt.
Man könnte aber die relative Häufigkeit ausdrücken, damit hätte ich kein Problem.

Und wieso sollte man einen "Siginfikanztest" durchführen, wenn doch die Münze ungezinkt ist ?
Das passt doch gar nicht zur Aufgabenstellung.

24.04.2014, 20:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von Bonheur
Angenommen man wirft die Münze zehnmal und liegt zehnmal richtig, dann beträgt die Hellseherwahrscheinlichkeit nach "luuissaa" Interpretation 100 %, welches allerdings eher unwahrscheinlich ist, denn wenn man nun weiter die Münze wirft und dieses mal nicht richtig liegt, haben wir einen Widerspruch, welcher wiederspiegelt, dass es auch etwas mit Glück zu tun hat.

Vollkommen richtig - deswegen wird in meinem Modell oben auch nie (selbst bei p=1 nicht) die Hellseherwahrscheinlichkeit gleich 1, weil es auch immer noch den "Glückspfad" (zufällig alle richtig geraten) gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2014, 20:40

Bonheur

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Zitat:

Original von HAL 9000
Vollkommen richtig - deswegen wird in meinem Modell oben auch nie (selbst bei p=1 nicht) die Hellseherwahrscheinlichkeit gleich 1, weil es auch immer noch den "Glückspfad" (zufällig alle richtig geraten) gibt. Augenzwinkern

Augenzwinkern

Ja.

smile

Zitat:

Original von luuiissaa
Dein obiges Modell habe ich mir durchaus angeguckt, ich bin auch dankbar für die Mühe, finde es aber für die Fragestellung nicht sinnvoll. Daher habe ich, wie du sagst, noch weiterphilosophiert,

Ich finde es auch echt Dreist zu behaupten, dass es nicht sinnvoll wäre. Es ist ganz deutlich.
Aber ich denke, dass "luuiissaa" das Modell nicht verstanden hat.
Wieso erklärt uns dann nicht luuiissaa, warum es nicht sinnvoll sei ? Augenzwinkern

Augenzwinkern

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