3 Geraden durch einen Punkt

24.04.2014, 12:45

Daifus

3 Geraden durch einen Punkt

Meine Frage:
Hallöchen,

ein Punkt P soll im Inneren eines Dreiecks ABC liegen. Dazu soll Winkel APB - Winkel ACB = Winkel CPA - Winkel CBA gelten. Nun hat man noch zusätzlich die Punkte D und E, die die Mittelpunkte der Inkreise der Dreiecke APB bzw APC sind.
Zu beweisen ist nun, dass die Geraden AP, BD und CE durch einen gemeinsamen Punkt verlaufen.

Meine Ideen:
Ich muss beweisen, dass AP die Winkelhalbierende des Winkels BAC ist, oder beweisen, dass das Dreieck PBC gleichschenklig (also Winkel CBP = Winkel PCB gilt).
Vielen Dank für Eure Hilfe.

24.04.2014, 13:06

riwe

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RE: 3 Geraden durch einen Punkt
eine Frage: ist das sicher KEINE aktuelle Wettbewerbsaufgabe verwirrt

deine Vermutung ist ok und leicht zu zeigen Augenzwinkern

24.04.2014, 14:12

Daifus

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RE: 3 Geraden durch einen Punkt
Nein es ist keine aktuelle Wettbewerbsaufgabe, glaube ich zumindest. Die Aufgabe erhielt ich von meinem Lehrer, der mich in der Begabtenförderung leitet.
Und könntest du mir auch sagen, wie ich das nun beweise? Ich stehe auf dem Schlauch.
Vielen Dank

25.04.2014, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Daifus
Ich muss beweisen, dass AP die Winkelhalbierende des Winkels BAC ist, oder beweisen, dass das Dreieck PBC gleichschenklig (also Winkel CBP = Winkel PCB gilt).

Wenn ich mir meine Skizze so anschaue: Das muss durchaus nicht so sein. unglücklich

Die Sache scheint einigermaßen vertrackt, zumindest sehe ich keinen einfachen Weg (abgesehen von "totrechnen", wozu ich mich noch nicht aufraffen konnte). Es ist leicht zu sehen, dass die Behauptung äquivalent ist zum Nachweis von

$\begin{eqnarray*} \frac{|BP|}{|CP|} = \frac{|BA|}{|CA|} = \frac{c}{b} \end{eqnarray*}$ .

Aber wie das aus der gegebenen Winkeldifferenzgleichheit

$\begin{eqnarray*} |\angle APB| - |\angle ACB| = |\angle CPA| - |\angle CBA| \end{eqnarray*}$

folgen soll, sehe ich leider noch nicht. verwirrt

[attach]34033[/attach]

In der Skizze (die den Fall $\begin{eqnarray*} \beta>\gamma \end{eqnarray*}$ behandelt) ist $\begin{eqnarray*} Q \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der drei genannten Geraden, außerdem habe ich noch den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} R \end{eqnarray*}$ der Winkelhalbierenden von $\begin{eqnarray*} \angle BAC \end{eqnarray*}$ mit der Seite $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ eingezeichnet. Schließlich ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ der Schnittpunkt der Gerade durch $\begin{eqnarray*} BC \end{eqnarray*}$ mit der Mittelsenkrechten von $\begin{eqnarray*} AR \end{eqnarray*}$ . Das ist zugleich der Mittelpunkt des Fasskreises über der Sehne $\begin{eqnarray*} AR \end{eqnarray*}$ für den Winkel $\begin{eqnarray*} 180^{\circ} - \frac{\beta-\gamma}{2} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von riwe
deine Vermutung ist ok und leicht zu zeigen Augenzwinkern

Bezieht sich das auf den Lösungsansatz von Daifus, oder auf die Behauptung der Aufgabenstellung? verwirrt

In letzterem Fall bin ich wohl einfach blind heute.

EDIT: Hab inzwischen eine Lösung, aber so wirklich zufrieden bin ich mit ihr nicht.

27.04.2014, 15:05

Daifus

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Hallo,

HAL9000 mir ist nicht klar, warum du Q als den Schnittpunkt der 3 Geraden AP, BD und CE ansiehst, da dies erst zu beweisen ist.

AP ist nicht die Winkelhalbierende des Winkels BAC, das fiel mir letztens auf. Jedoch verstehe ich nicht, warum dein Lösungsansatz (HAL9000) die zu beweisende Behauptung beinhaltet.

Vielen Dank für deine Hilfe, aber richtig schlüssig ist das noch nicht.

Gruß
Daifus

27.04.2014, 15:47

HAL 9000

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Zitat:

Original von Daifus
HAL9000 mir ist nicht klar, warum du Q als den Schnittpunkt der 3 Geraden AP, BD und CE ansiehst, da dies erst zu beweisen ist.

Ich hab nicht gesagt, dass das von vornherein klar ist, dass es diesen gemeinsamen Punkt gibt - es ist das Ergebnis, falls die Behauptung stimmt.

Zitat:

Original von Daifus
Jedoch verstehe ich nicht, warum dein Lösungsansatz (HAL9000) die zu beweisende Behauptung beinhaltet.

Du weißt doch gar nicht, was mein Lösungsansatz ist - also leg mir keine Worte in den Mund, die ich nicht gesagt habe. unglücklich

Kurzum: Wenn du Spekulationen anstellst, dann zu deinem eigenen Lösungsansatz - aber unterlasse irgendwelche Unterstellungen bei anderen.

27.04.2014, 15:56

Daifus

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Zitat:

Original von HAL 9000
Wenn du Spekulationen anstellst, dann zu deinem eigenen Lösungsansatz - aber unterlasse irgendwelche Unterstellungen bei anderen.

Entschuldigung, falls es sich so anhörte, als ob ich dich in Frage stellte. Das Problem ist, dass mir einfach nichts einfällt und ich bin richtig richtig froh über jegliche Hilfe.

Also hast du vielleicht Ideen zur Lösung meines Problems?

Mir fällt echt überhaupt nichts ein und ich will diese Aufgabe endlich lösen, doch dafür benötige ich alle Hilfe, die ich erhalten kann.

Dankeschön

Gruß
Daifus

27.04.2014, 15:57

HAL 9000

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Nach diesem schlechten Start in die Kommunikation hier nun wirklich meine (grob umrissene) Lösungsstrategie. Die besteht im wesentlichen darin nachzuweisen, dass die Voraussetzung äquivalent dazu ist, dass $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf dem rot eingezeichneten Fasskreisbogen liegt.

Das unterteilt sich in folgende Punkte:

1) Für $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ auf dem Fasskreisbogen gilt $\begin{eqnarray*} \frac{|PB|}{|PC|} = \frac{|AB|}{|CA|} \end{eqnarray*}$ .

2) Dies impliziert die Gültigkeit der Winkeldifferenzbedingung aus der Voraussetzung.

3) Dies impliziert ebenfalls die Behauptung.

4) WICHTIG: Punkte $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ AUSSERHALB des Fasskreisbogen verletzen die Winkeldifferenzbedingung der Voraussetzung.

27.04.2014, 16:52

Daifus

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Was ich hierbei jetzt noch nicht verstehe ist, warum erfüllen die P auf dem Fasskreis die Gleichung $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CA}} \end{eqnarray*}$ . Oder gilt das noch zu beweisen?

Außerdem verstehe ich auch noch nicht, warum wenn $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CA}} \end{eqnarray*}$ gilt, dass die Winkelbeziehungen impleziert werden.

Umfasst der Fasskreis nicht eigentlich einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \beta - \gamma \end{eqnarray*}$ ?

Danke für deine schnellen Antworten und Hilfsbereitschaft

Gruß
Daifus

27.04.2014, 16:54

HAL 9000

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Ich hatte "grob umrissen" geschrieben - nicht, dass das der komplette Beweis ist. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Daifus
Oder gilt das noch zu beweisen?

Na ja doch - denkst du, das gibt es zum Nulltarif? Das ist eine längere Überlegung über mehrere ähnliche Dreiecke.

Zitat:

Original von Daifus
Außerdem verstehe ich auch noch nicht, warum wenn $\begin{eqnarray*} \frac{\overline{PB}}{\overline{PC}} = \frac{\overline{AB}}{\overline{CA}} \end{eqnarray*}$ gilt, dass die Winkelbeziehungen impleziert werden.

Auch das muss natürlich bewiesen werden.

Zitat:

Original von Daifus
Umfasst der Fasskreis nicht eigentlich einen Winkel von $\begin{eqnarray*} \beta - \gamma \end{eqnarray*}$ ?

Wenn du den Winkel $\begin{eqnarray*} \angle RMA \end{eqnarray*}$ meinst, dann hast du Recht. Wenn man aber davon spricht von "Fasskreis für den Winkel...", dann meint man den Umfangwinkel (auch Peripheriewinkel genannt) über der Sehne, hier also $\begin{eqnarray*} \angle APR \end{eqnarray*}$ .

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