Vektor berechnen

24.04.2014, 13:34

Totzsc

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Vektor berechnen

Im folgenden handelt es sich bei jeder Variable um Vektoren.

a=(2,-1,2), c=(3,4,-1)

Meine Aufgabe:

Finden Sie einen Vektor x € IIR^3 mit a X x=c. Gibt es mehr als eine Lösung?

X ist dabei das Zeichen für das Vektorprodukt.

Meine Idee:

Ich habe dazu leider keine Idee, deshalb wollte ich mal hier nachfragen. Hab ja gedacht das man es vlt. nach Sarrus lösen kann, also über Determinanten berechnung und dann irgendwie nach x äquivalent umformen. Das ist aber irgendwie nicht richtig. xD

24.04.2014, 13:43

10001000Nick1

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Du suchst also ein $\begin{eqnarray*} x\in\mathbb{R}^3 \end{eqnarray*}$ , sodass $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}\times x=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ ist?

Dann setze $\begin{eqnarray*} x=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und berechne dann $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 2\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Du erhältst einen Vektor, der gleich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ -1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sein muss. Dieses Gleichungssystem kannst du dann lösen.

24.04.2014, 21:40

Totzsc

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Ich habe ja jetzt eine Matrix herraus, worin variablen (x) stehen. Kann ich die einfach entfernen und sie einfach nach der Spalte bennen, also x1,x2,x3 für je eine Spalte (Gauß-Algorithmus). Anschließend berechne ich mithilfe Gaußalgorithmus die Stufenform der Koeffizientenmatrix aus. Die Lösungsmenge ergibt dann der gesuchte Vektor. So richtig ?

24.04.2014, 21:44

10001000Nick1

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Was genau willst du machen? Jedenfalls darfst du erstmal nicht einfach $\begin{eqnarray*} x_1, x_2, x_3 \end{eqnarray*}$ weglassen. Wonach willst du denn dann auflösen, wenn du keine Variablen mehr hast?
Oder habe ich dich falsch verstanden?

Am besten, du schreibst mal auf, was du bis jetzt berechnet hast und was du jetzt machen willst. smile

smile

24.04.2014, 22:10

Totzsc

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Danke für die Antwort. Ist halt die einzige Aufgabe wo ich keinen schimmer hab.

Komme dann auf

-X3-2X2
2X1-2X3
2X2+X1

mit vector(x):=(X1,X2,X3)

PS. Kann man nun irgendwie mit dieser gegebener Matrix und dem Vektor c eine Koeffizientenmatrix bilden und dann eventuell über Gauß die Lösungsmenge bestimmen? Die Variablen vom Vektor x stören aber etwas in der Matrix, deshalb gehe ich davon aus das es nicht möglich ist/sei.

24.04.2014, 22:28

10001000Nick1

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Der Vektor stimmt.

D.h. du musst jetzt das Gleichungssystem
$\begin{eqnarray*} \begin{aligned}<br /> &-2x_2&-x_3&=3 \\ 2x_1&&-2x_3&=4 \\ x_1&+2x_2&&=-1<br /> \end{aligned} \end{eqnarray*}$
lösen.

Das kann man so eigentlich mit Gauß machen.

Wenn du willst, kannst du aber auch $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}0&-2&-1\\2&0&-2\\1&2&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3\\4\\-1\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lösen. Meintest du das mit der Koeffizientenmatrix?

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24.04.2014, 22:44

Totzsc

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Genaum diese Koeffizientenmatrix meinte ich. Die Lösungsmenge ergibt dann vector(x) oder? Nun ist die frage ob es noch mehr Lösungen gibt...

24.04.2014, 22:48

10001000Nick1

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Probier's doch einfach mal aus. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2014, 22:52

Totzsc

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x1 = -1
x2 = 0
x3 = -3

24.04.2014, 23:06

10001000Nick1

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Dieser Vektor stimmt.

Was würdest du denn vermuten: Gibt es mehrere Lösungen, und warum?

24.04.2014, 23:10

Totzsc

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Sicher gibt es noch welche, auch wenn ich persönlich sagen würde das es keine gibt.

24.04.2014, 23:11

10001000Nick1

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Wie bist du denn auf deinen Vektor gekommen? Eigentlich erkennt man da immer, ob es noch mehr Lösungen gibt.

24.04.2014, 23:17

Totzsc

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Ich habe mir die Arbeit ersparen lassen und es mithilfe WolframAlpga gelöst (Rechnerisch ist es kein problem dauert aber immer kurz Big Laugh

Big Laugh

).

Nun kann es selbstverständlich vorkommen das die Lösungsmenge Parameter enthält, zb da eine Nullzeile vorkommt. Dann würde es nämlich mehrere Lösungen geben.

Ich denke aber hier ist das dann die einzige Lösung oder?

24.04.2014, 23:23

10001000Nick1

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Eigentlich sollte auch Wolframalpha anzeigen, dass es mehrere Lösungen gibt. Kannst du mal posten, was du da eingegeben hast (oder den Link)?

Man kann die Anzahl der Lösungen schon an der Determinante der Koeffizientenmatrix erkennen. Ist diese ungleich 0, dann gibt es genau eine Lösung.
Ist die Determinante gleich 0, dann gibt es keine oder unendlich viele Lösungen.

Hier ist $\begin{eqnarray*} \det\begin{pmatrix}0&-2&-1\\2&0&-2\\1&2&0\end{pmatrix}=0 \end{eqnarray*}$ . Weil wir schon eine Lösung gefunden haben, muss es unendlich viele Lösungen geben.

Wenn man das Gleichungssystem mit dem Gauß-Verfahren löst, kommt man irgendwann auf eine Nullzeile.

24.04.2014, 23:27

Totzsc

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Sry, war gar nicht Wolfram sondern arndt-bruenner. Der hat mir aber in der Vergangenheit immer parameter mitangezeigt.

0x - 2y - 1z = 3
2x + 0y - 2z = 4
1x - 2y + 0z = -1

Sollte wohl die Finger davon lassen von nun an oder

24.04.2014, 23:32

10001000Nick1

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Bei der letzten Gleichung muss +2y stehen, nicht -2y.
Wenn man das richtig eingibt, steht da "keine eindeutige Lösung gefunden".

Aber bei so einem Gleichungssystem geht es schneller, das schnell per Hand auszurechnen, als die Gleichungen einzutippen. Augenzwinkern

Augenzwinkern

24.04.2014, 23:39

Totzsc

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Danke, dann ist die Frage wohl beantwortet. Hätte ich die Nullzeile gesehen, wäre die Antwort sofort klar. Hast mir wirklich sehr geholfen. Danke schön.^^ Meinst du, du kannst mir noch ein Tipp zu folgender Aufgabe geben.

Gegeben:

a=(2,-1,2), c=(3,4,-1)

Finden Sie einen Vektor x € IIR^3 mit a X x=c und <a,x>=1. Gibt es mehr als eine Lösung? a,x und c sind dabei Vektoren.

Hier habe ich gar keine Ahnung was zu machen ist. Wie kann ich denn die Bedingung des Skalarprodukts miteinbringen, sodass es dann noch zusammen c ergibt. Wie das Skalarprodukt 1 ergibt sollte kein Problem sein. Aber zu berücksichtigen das dabei letztendlich c herrauskommt, das bereitet mir schwierigkeiten.

24.04.2014, 23:42

10001000Nick1

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Das geht fast genauso wie eben, nur dass noch eine Gleichung dazukommt.

Wegen $\begin{eqnarray*} a\times x=c \end{eqnarray*}$ haben wir die drei Gleichungen von eben. Und aus $\begin{eqnarray*} \langle a, x\rangle =1 \end{eqnarray*}$ erhalten wir die vierte Gleichung.

Was ist denn $\begin{eqnarray*} \langle a, x\rangle \end{eqnarray*}$ ?

Edit: Falls du in der vorherigen Aufgabe schon die allgemeine Lösung berechnet hast, kannst du diese hier für x verwenden. Dann bräuchtest du nur noch die letzte Gleichung berücksichtigen.

25.04.2014, 00:08

Totzsc

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<a,x> ist doch nur das Skalarprodukt, also die multiplikation der gleichen komponente der beiden Vektoren, diese dann noch aufaddiert über jede komponente. Bisschen schräg erklärt. ^^ Summe xi*yi mit Startindex 1. Wobei xi,yi die Vektorkomponenten beschreibt.

Also wie mach ich das jetzt. Ich habe bereits die Allgemeine Lösung von a.

25.04.2014, 00:10

10001000Nick1

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Zitat:

Original von Totzsc
Also wie mach ich das jetzt. Ich habe bereits die Allgemeine Lösung von a.

Du meinst bestimmt "von x" ?

Du kannst doch einfach $\begin{eqnarray*} \left\langle \begin{pmatrix}2\\-1\\2\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix} \right\rangle \end{eqnarray*}$ berechnen. Und das setzt du dann gleich 1.

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