K- und Q-Untervektorräume

26.04.2014, 11:06

Acuda

K- und Q-Untervektorräume

Meine Frage:
Hallo,

ich stehe momentan vor 3 mehr oder weniger zusammenhängenden beweisaufgaben und habe keine idee wie ich daran gehen soll unglücklich

a) Es sei ein Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gegeben, bestimmen sie alle $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ .
b)Geben sie eine Skalarmultiplikation so an, das $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ zusammen mit der üblichen Addition und dieser Skalarmultiplikation ein Q-vektorraum wird. Begründen Sie.
c) Zeigen sie,dass es unendlich viele Q-Untervektorräume von $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ gibt.

Hinweis: Wir dürfen ohne beweis verwenden, dass ausdrücke wie $\begin{eqnarray*} \sqrt{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$ irrational sind.

Meine Ideen:
Zur a) hatte ich mir überlegt, dass doch jeder unendliche Körper eine undendliche Zahl an Untervekttorräumen haben kann, oder wird dann getrennt, ob ich einen Untervektorraum aus dem anderen erzeugen kann?

b) Hier hätte ich jetzt gedacht, dass Q ja dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ liegt, heißt also ich kann jede Zahl aus Q beliebig genau mit einer Zahl aus $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ approximieren, somit kann ich doch eine beliebige Vektormultiplikation wählen oder :S

C) Hier fast adsselbe wie in b, Q liegt dicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ , also kann ich es beliebig genau approximieren aber nie erreichen weshalb es unendlich viele Q- Untervektorräume gibt.

Mehr fällt mir leider nicht ein, zumal ich auch keine Idee hätte wie ich jetzt an die Beweise rangehen sollte unglücklich

Ich hoffe ihr könnt mir helfen

26.04.2014, 11:35

Mulder

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RE: K- und Q-Untervektorräume
$\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ aufgefasst als $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum hat welche Dimension? Die Dimension eines etwaigen UVR muss kleiner oder gleich sein. Welche Möglichkeiten gibt es dann? Bedenke: Ist $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ ein Untervektorraum von $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ mit gleicher Dimension, dann gilt schon $\begin{eqnarray*} U=K \end{eqnarray*}$ .

Bei der Skalamultiplikation musst du die gewöhnliche Multiplikation $\begin{eqnarray*} \mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ nur einschränken auf $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \times \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Und bei c) bedenke, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ über $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ aufgefasst ein uenndlichdimensionaler Vektorraum ist - es gibt also unendlich viele linear unabhängige Vektoren in diesem Vektorraum.

Mit Dichtheit hat das alles übrigens nichts zu tun.

26.04.2014, 12:22

Acuda

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RE: K- und Q-Untervektorräume
Also...

a) K-Vektorraum hat eine festgelegte Dimensionenzahl, je nachdem welchen Körper wir betrachten und ist ja unabhänging von der Wahl unseren Basisvektoren(Dimensionen = minimale Basisvektoren oder?)
somit sollte es ja eigentlich dann nur K-Dimensionen - 1 mögliche Untervektorräume geben, wenn für ein Untevektorraum U mit gleicher dimensionen zahl U = K gilt.

b) kannst du mir einen Tipp geben wie ich das quasi dann definieren muss? unglücklich

c) d.h ich muss nur für beliebige Linearfaktoren zeigen das sie unabhängig sind und hätte damite gezeigt dass es somit unendlich viele Untervektorräume gibt? falls ja , dann muss ich die linearfaktoren dann aus Q wählen oder?

und vielen vielen Dank schonmal für die Hilfe smile

26.04.2014, 15:51

Mulder

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RE: K- und Q-Untervektorräume

Zitat:

Original von Acuda
a) K-Vektorraum hat eine festgelegte Dimensionenzahl, je nachdem welchen Körper wir betrachten und ist ja unabhänging von der Wahl unseren Basisvektoren(Dimensionen = minimale Basisvektoren oder?)
somit sollte es ja eigentlich dann nur K-Dimensionen - 1 mögliche Untervektorräume geben, wenn für ein Untevektorraum U mit gleicher dimensionen zahl U = K gilt.

Ich weiß nicht genau, was du hier sagen möchtest - du gehst jedenfalls unsauber mit den Begriffen um. Versuch mal, das verständlicher zu formulieren. Und auf den Punkt zu kommen. Welche Untervektorräume gibt es? Die Dimension von K aufgefasst als K-Vektorraum ist jedenfalls nicht davon abhängig, was K ist.

Zitat:

Original von Acuda
b) kannst du mir einen Tipp geben wie ich das quasi dann definieren muss?

Ich habe dir eine 100%-Komplettlösung oben hingeschrieben, welche Multiplikation zu wählen ist. Es ist die ganz normale Multiplikation - eingeschränkt auf IQ. Sprich, die Skalare sind rational. Vermutlich tust du dich deshalb so schwer, weil es so simpel ist. Bloß nicht zu kompliziert denken an dieser Stelle.

Zitat:

Original von Acuda
c) d.h ich muss nur für beliebige Linearfaktoren zeigen das sie unabhängig sind und hätte damite gezeigt dass es somit unendlich viele Untervektorräume gibt? falls ja , dann muss ich die linearfaktoren dann aus Q wählen oder?

Was für Linearfaktoren? Du kannst beliebig viele reelle Zahlen angeben, die über IQ linear unabhängig sind und mit diesen lassen sich dann auch beliebig viele UVR aufspannen. Die Vektoren sind aber aus IR.

26.04.2014, 16:23

Acuda

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RE: K- und Q-Untervektorräume
a)

also ein K-Vektorraum hat ja n-Dimensionen, z.b. hat $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{5} \end{eqnarray*}$ ja 5 Dimensionen, und wenn für alle Untervektorräume gelten muss das sie von Ihrer dimensionen anzahl <= dem
K-Vektorraum sein sollen, es aber gilt wenn dim(K) = dim(U) => U=K, dann kann es doch nur
n-1 Untervektorräume geben, hoffe so ist es verständlicher Augenzwinkern

b) ahso ok, ja ich bin bei sowas immer beweise gewohnt die über sowas simples hinausgehen Hammer

aber muss hier nicht gelten: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \times \mathbb R \to \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil es ist
ja nach Q-Vektorraum gefragt

c) dh. hier nehme ich mir ein paar beispiele exemplarisch raus und sage dann, das es für alle Zahlen geht, da R über Q ein unendlichdimensionaler vektorraum ist?

26.04.2014, 17:23

Mulder

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RE: K- und Q-Untervektorräume

Zitat:

Original von Acuda
also ein K-Vektorraum hat ja n-Dimensionen, z.b. hat $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{5} \end{eqnarray*}$ ja 5 Dimensionen, und wenn für alle Untervektorräume gelten muss das sie von Ihrer dimensionen anzahl <= dem
K-Vektorraum sein sollen, es aber gilt wenn dim(K) = dim(U) => U=K, dann kann es doch nur
n-1 Untervektorräume geben, hoffe so ist es verständlicher

Bitte die Aufgabe lesen!

Zitat:

Es sei ein Körper $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ gegeben [...]

Der $\begin{eqnarray*} \mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ ist kein Körper. Beschränk dich bitte auf reine Körper und passe deine Überlegungen dementsprechend an. Dass es n-1 Untervektorräume geben kann, ist aber so oder so völlig falsch. Schon im $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ z.B. kann man unendlich viele Untervektorräume konstruieren. Zwei echte Untervektorräume gleicher Dimension müssen nicht automatisch gleich sein. Ich habe oben was anderes gemeint und geschrieben.

Zitat:

Original von Acuda
aber muss hier nicht gelten: $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \times \mathbb R \to \mathbb Q \end{eqnarray*}$ , weil es ist ja nach Q-Vektorraum gefragt

Nein. Bitte lies dir nochmal die Definition eines Vektorraums durch. Insbesondere zur Skalarmultiplikation. Diese bildet doch in den Vektorraum ab. Und der ist hier $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Rein von der Logik her sollte aber auch klar sein, dass das so nicht sein kann. Das Produkt einer rationalen und einer irrationalen Zahl wird i.A. nicht rational sein können. Sonst wäre $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \end{eqnarray*}$ nicht einmal mehr abgeschlossen und damit kein Körper mehr.

Zitat:

Original von Acuda
c) dh. hier nehme ich mir ein paar beispiele exemplarisch raus und sage dann, das es für alle Zahlen geht, da R über Q ein unendlichdimensionaler vektorraum ist?

Wieder recht unverständlich formuliert ...

26.04.2014, 17:41

Acuda

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RE: K- und Q-Untervektorräume
a)

Tut mir Leid leider verstehe ich jetzt überhaupt gar nichts mehr...
wenn wir einen bleibigen Körper K betrachten kann ich doch gar nicht sagen wieviele dimensionen dieser hat, geschweige denn wieviele dann die untervektorräume haben

b) ok denke das habe ich jetzt verstnaden

c) hier ist mein problem das ich nicht weiß wie ich dass denn jetzt gemau zeigen soll unglücklich

26.04.2014, 18:12

Mulder

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RE: K- und Q-Untervektorräume
Ich verstehe nicht so ganz, was du mit "wieviele Dimensionen" meinst. Ein Vektorraum hat eine Dimension. Und fasst man $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum auf, hat dieser Dimension 1, denn eine Basis kann man schon mit einem einzigen Element aus $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ erzeugen.

Die einzigen Untervektorräume sind damit $\begin{eqnarray*} K \end{eqnarray*}$ selbst und der Nullvektorraum. Mehr gibt's nicht.

Bei c) weiß ich nicht, was ihr schon kennt und benutzen dürft und was du jetzt genau machen willst. Du schreibst ja nichts dazu. Wenn du weißt, dass IR unendlichdimensional über IQ ist, bist du im Grunde schon fertig.

Du kannst natürlich auch einfach unendlich viele UVR konstruieren - ganz wie es dir beliebt.

26.04.2014, 18:23

Acuda

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RE: K- und Q-Untervektorräume
a)

ahh okay jetzt habe ich es verstanden ich glaube ich habe auch da einfach viel zu kompliziert über die beschaffenheit von körpern nachgedacht unglücklich

zu c)

ich glaube nicht das das unserem tutor genügt. weil bei zeigen reicht es eigentlich nicht nur eine kurzze begründung zu geben, denke ich zumindest^^

wir hatten bisher schon lineare unabhänigkeit und den beweis sowhol als auch wie man lineare unabhängigkeit nachweist.

26.04.2014, 19:29

Louis1991

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RE: K- und Q-Untervektorräume
Hallo,

Entschuldigung, dass ich mich einmische. Aber hier 3,5 Beweismethoden für 3.:

1.) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist, die Menge der algebraischen Zahlen (d.h. Nullstellen von Polynomen mit rationalen Koeffizienten) aber abzählbar ist). Folgere daraus, dass es eine transzendente Zahl $\begin{eqnarray*} a \in \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ gibt und zeige, dass für $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ die Untervektorräume $\begin{eqnarray*} span(a^n) \subset \mathbb{R}_\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ paarweise verschieden sind.
1.5) Zeige von irgendeiner Zahl, dass sie transzendent ist (z.B. $\begin{eqnarray*} e \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ ) und fahre dann wie in 1.) fort. (ich glaube aber, dass das wesentlich schwieriger sein könnte).
2) Zeige, dass es unendlich viele Primzahlen $\begin{eqnarray*} p_i \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gibt. Betrachte die $\begin{eqnarray*} span(\sqrt{p_i}) \subset \mathbb{R}_\mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ und zeige, dass diese paarweise verschieden sind.
3) Zeige, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ überabzählbar ist, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ abzählbar ist, und folgere daraus, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ unendliche $\begin{eqnarray*} \mathbb{Q} \end{eqnarray*}$ -Dimension besitzt.

Viel Spaß damit.

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