Satz von Stokes mehrfach hintereinander anwendbar?

27.04.2014, 14:29

Duude

Satz von Stokes mehrfach hintereinander anwendbar?

Hallo zusammen,
wir hatten in der Analysis den Satz von Stokes
$\begin{eqnarray*} \int_{dL} \omega = \int_L d \omega \end{eqnarray*}$

Dabei sei L eine k-dimensionale glatte und orientierbare Mannigfaltigkeit mit Rand dL. $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ sei eine glatte (k-1)Form auf der L.

Ich verwende diese Formel ja, da die Integration über die Mannigfaltigkeit L schwierig ist und ich mir die Sache erleichtere, wenn ich mit Hilfe dieser Formel nur ein Integral über den Rand berechnen muss. Ich integriere also dw, erhalte w und integriere das über den Rand.

Nun ist aber der Rand einer n-dimensionalen Mannigfaltigkeit wieder eine Mannigfaltigkeit der Dimension n-1.

Könnte ich jetzt den Satz von Stokes nochmals anwenden, um nur das Integral über eine n-2 dimensionale Mannigfaltigkeit zu berechnen?

Ich bin mir unsicher, weil ja der Rand vom Rand einer Mannigfaltigkeit gleich 0 ist und das Integral dann ja 0 ergeben müsste...

Damit müsste doch eine der Vorraussetzungen nicht erfüllt sein... aber welche?
Danke schonmal für eure Hilfe.
lg Duude

27.04.2014, 16:01

Che Netzer

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RE: Satz von Stokes mehrfach hintereinander anwendbar?
Das kannst du natürlich tun, wenn die Voraussetzungen wieder erfüllt sind, d.h. $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ muss exakt sein. Dann erhält man tatsächlich Null – Integrale exakter Differentialformen über Mannigfaltigkeiten ohne Rand verschwinden.

27.04.2014, 21:14

Duude

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Vielen Dank für die Antwort. Habe mich auf Wikipedia über exakte k-Formen informiert.
Genügt denn die Forderung, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wieder darstellbar ist als $\begin{eqnarray*} d \eta \end{eqnarray*}$ ?

Es müssten ja schließlich alle Voraussetzungen des Satzes erfüllt sein. z.B. dass der Rand einer glatten orientierbaren Mannigfaltigkeit wieder glatt und orientierbar ist. Zudem wenn w eine glatte (k-1)Form auf der Mannigfaltigkeit ist, muss $\begin{eqnarray*} \eta \end{eqnarray*}$ wieder eine glatte (k-2) Form auf der Mannigfaltigkeit sein.

Oder sind die Voraussetzungen automatisch erfüllt?

27.04.2014, 21:19

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
Genügt denn die Forderung, dass $\begin{eqnarray*} \omega \end{eqnarray*}$ wieder darstellbar ist als $\begin{eqnarray*} d \eta \end{eqnarray*}$ ?

Ja, der Rest gilt ohnehin immer (die Eigenschaften des Randes).

In diesem Fall ist der Satz aber unnötig. Ist nämlich $\begin{eqnarray*} \omega=\dd\eta \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ ...

27.04.2014, 21:49

Duude

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ah, ok.

hmm, warum ist der Satz denn unnötig, wenn ich ihn zweimal anwenden möchte?

Ich brauche doch $\begin{eqnarray*} d \omega = d d \eta = 0 \end{eqnarray*}$ , um sagen zu können dass ich über $\begin{eqnarray*} dd\eta=0 \end{eqnarray*}$ integriere, weshalb das Integral dann insgesamt 0 wird.

oder siehst du das irgendwie anders direkt?

27.04.2014, 22:01

Che Netzer

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Zitat:

Original von Duude
hmm, warum ist der Satz denn unnötig, wenn ich ihn zweimal anwenden möchte?

Wenn man von $\begin{eqnarray*} \int_L\dd\omega \end{eqnarray*}$ ausgeht und den Satz von Stokes zweimal anwenden kann, dann war ohnehin schon $\begin{eqnarray*} \dd\omega=0 \end{eqnarray*}$ . Und um $\begin{eqnarray*} \int_L0 \end{eqnarray*}$ auszurechnen, brauche ich keinen Satz von Stokes.

27.04.2014, 22:18

Duude

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Vielleicht reden wir gerade etwas aneinander vorbei, aber ich bin der Meinung, dass man den Satz trotzdem braucht.

Angenommen ich kann dw als $\begin{eqnarray*} dd \eta \end{eqnarray*}$ schreiben. Zweimaliges Anwenden des Satzes von Stokes ergibt:

$\begin{eqnarray*} \int_L dd \eta = \int_{dL} d \eta = \int_{ddL} \eta = \int_0 \eta= 0 \end{eqnarray*}$ da der Rand vom Rand gleich 0 ist.

Es gilt dann natürlich
$\begin{eqnarray*} \int_L dd \eta =d \omega=0 \end{eqnarray*}$ weshalb schon $\begin{eqnarray*} dd \eta \end{eqnarray*}$ gleich 0 gewesen sein muss (wenn L eine Mannigfaltigkeit ungleich 0 gewesen sein soll). Aber in diese Argumentation geht der Satz ja ein, um zu zeigen, dass dw=0 ist, auch wenn ich nicht explizit integriere oder irgendwas ausrechne.

27.04.2014, 22:42

Che Netzer

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Exakte Differentialformen sind geschlossen. Und Differentialformen, deren Integral verschwindet, müssen nicht Null gewesen sein.

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