DGL erster Ordnung

27.04.2014, 15:04

Supersymmetrie

DGL erster Ordnung

Hallo Zusammen,

Komme bei folgender Aufgabe nicht weiter:

$\begin{eqnarray*} y' = y^{\frac{2}{3}} , y(0) = 0 \end{eqnarray*}$

Man soll nun sämtliche Lösungen des AWPs bestimmen.

Mir ist nicht ganz klar wie ich da vorgehen muss.

Mich verwirrt das y auf der rechten Seite.

27.04.2014, 15:09

grosserloewe

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RE: DGL erster Ordnung
Wink

Die Aufgabe kannst Du mit Trennung der Variablen lösen.

Teile dazu beide Seiten durch :

$\begin{eqnarray*} y^{\frac{2}{3} } \end{eqnarray*}$

Wenn Du die Lösung hast, setzt Du dann die AWB ein .

27.04.2014, 15:10

Kasen75

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Hallo,

du kannst $\begin{eqnarray*} y^{2/3} \end{eqnarray*}$ auf die linke Seite bringen, indem du die Gleichung durch $\begin{eqnarray*} y^{2/3} \end{eqnarray*}$ teilst.

Grüße.

27.04.2014, 16:25

Supersymmetrie

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Okay also formal:

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{dx}{dy} = f(x) g(y) \end{eqnarray*}$

wobei
$\begin{eqnarray*} f(x) = 1 , g(y) = y^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{y^{ \frac{2}{3}} } dy = 1 dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \int \! \frac{1}{y^{ \frac{2}{3}} } \, dx = \int \! 1 \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3 \sqrt[3]{y} = x \end{eqnarray*}$

Und jetzt den Anfangswert einsetzen?
Oder musste der schon vorher im Integral bei den Grenzen verwendet werden?

27.04.2014, 16:34

grosserloewe

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In der vorletzten Zeile muß dy statt dx stehen.

Du hast das +C vergessen , die Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} 3 y^{\frac{1}{3} }=x +C \end{eqnarray*}$

jetzt setzt Du hier für x und y die Werte ein und hast C.

Dann brauchst du nur noch die Gleichung nach y umstellen.

27.04.2014, 16:41

HAL 9000

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zu bedenken
Die Aufgabenstellung lässt in ihrer Deutlichkeit nichts zu wünschen übrig:

Zitat:

Original von Supersymmetrie
Man soll nun sämtliche Lösungen des AWPs bestimmen.

Und das ist durchaus ernst zu nehmen: Dieses AWP hat nämlich unendlich viele Lösungen. Augenzwinkern

P.S.: Ich könnte mir vorstellen, dass die Aufgabe hier im Zusammenhang mit Picard-Lindelöf gefallen ist - sozusagen als Beispiel, wo die Voraussetzungen dieses Satzes nicht erfüllt sind. smile

27.04.2014, 16:55

Supersymmetrie

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Okay also ist die Aufgabe mit dem Verfahren Trennung der Veränderlichen gar nicht lösbar?

27.04.2014, 16:57

grosserloewe

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Frage

Wie lautet denn die Orginalaufgabenstellung?

Und

habt Ihr Picard-Lindelöf je behandelt?

27.04.2014, 16:58

Supersymmetrie

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Skizzieren Sie das Richtungsfeld der DGL

und bestimmen Sie sämtliche Lösungen des AWPs y(0) = 0.

27.04.2014, 17:05

Supersymmetrie

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Kann auf jeden Fall gut sein mit Picard-lindelöf.

Das hatten wir in der Vorlesung

27.04.2014, 17:11

HAL 9000

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Die Umformungen, die man bei der obigen Trennung der Variablen vollführt, stehen alle unter dem Vorbehalt $\begin{eqnarray*} y\neq 0 \end{eqnarray*}$ : D.h., die gewonnene Lösung erstreckt sich nur dann in eindeutiger Weise links und rechts eines Punktes $\begin{eqnarray*} x_0 \end{eqnarray*}$ mit vorgegebenen $\begin{eqnarray*} y_0=y(x_0)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , solange diese Fortsetzung $\begin{eqnarray*} y(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ ist. Wird sie dagegen an irgendeiner Stelle gleich Null, dann werden die Karten ab diesem Punkt sozusagen "neu gemischt". Augenzwinkern

Ich geb mal als Beispiel noch eine weitere Lösung des AWP an, der sieht man an, was so passieren kann:

$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x\leq 1\\ \frac{(x-1)^3}{27} & \;\mbox{für}\, x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$ .

An der Stelle noch eine Frage zur Symbolik:

Normalerweise ist die Potenz $\begin{eqnarray*} y^{\frac{2}{3}} \end{eqnarray*}$ im Reellen nur für nichtnegative $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ definiert. Anders sieht es aus, wenn du stattdessen $\begin{eqnarray*} \sqrt[3]{y^2} \end{eqnarray*}$ meinst, dann wäre diese Beschränkung aufgehoben und der Term macht auch für negative $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ Sinn. Diese Frage besitzt durchaus Einfluss auf die angefragte Lösungsvielfalt des AWP.

27.04.2014, 17:33

Supersymmetrie

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Also es ist kein Intervall angegeben weder für x noch y.

Denke mal der Sachverhalt den du ansprichst soll einem auffallen wenn man das Richtungsfeld skizziert.

Dann reicht es doch für diese Aufgabe die Lösung für den gegebenen Anfangswert zu bestimmen.

Oder muss man da im Vorfeld die Kriterien des Satzes von Picard Lindelöf prüfen?

27.04.2014, 17:37

HAL 9000

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Zitat:

Original von Supersymmetrie
Dann reicht es doch für diese Aufgabe die Lösung für den gegebenen Anfangswert zu bestimmen.

Was meinst du mit die ? verwirrt

27.04.2014, 17:47

Supersymmetrie

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die = eine Big Laugh

27.04.2014, 17:50

HAL 9000

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Dann sind meine Erläuterungen oben wohl bei dir in ein Ohr rein-, und zum anderen Ohr ungehört wieder raus geflogen. Na ich denke, grosserloewe wird sie ernster genommen haben, womit ich mich hier verabschieden kann. Wink

27.04.2014, 18:11

Supersymmetrie

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Nein ist sie nicht.
Nur mir ist nicht wirklich klar was du meinst bezüglich der Anzahl der Lösungen.

Habe das komplett durchgerechnet und komme auf die Lösung:

$\begin{eqnarray*} y = ( t^{3} / 27) \end{eqnarray*}$

Klar ist das diese Lösung nur in Verbindung mit dem Anfangswert y(0) = 0 gilt.

27.04.2014, 18:54

grosserloewe

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Also wenn Du für t x schreibst , stimmt die Lösung.

smile

Ansonsten was HAL9000 schrieb ,hab ich natürlich mit Ernst mit Respekt
gelesen, keine Frage und was er schreibt , stimmt.

Meine Meinung ist aber trotzdem , das das so reicht , wie es hier dargestellt wurde.

Nun habe ich mal in der Welt gegoogelt und z.B.folgendes Dokument gefunden
Dort steht auch "sämtlich" und da wurde auch nur "einfach " gerechnet.
(Aufgabe 4)

http://www.fh-jena.de/~puhl/lehre/material/pdf/ss08/ana_2_pt_lot_ss08_4.pdf

Aber , wenn es "anders " sein soll(Existenz und Eindeutigkeit), muß das denke ich auch in der Aufgabe expliziert stehen
Auch hier ein Link (wie das hier der Fall ist)

Aufgabe 1

https://dokumente.unibw.de/pub/bscw.cgi/...L%C3%B6sung.pdf

Vielleicht kann ja Che Netzer oder ein anderer sagen , wie er diese Aufgabe lösen würde. Bin sehr gespannt.

27.04.2014, 18:56

HAL 9000

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Ich bin schwer enttäuscht... unglücklich

Kann mir einer mal Gründe dafür nennen, wieso

Zitat:

Original von HAL 9000
$\begin{eqnarray*} y(x) = \begin{cases} 0 & \;\mbox{für}\, x\leq 1\\ \frac{(x-1)^3}{27} & \;\mbox{für}\, x>1 \end{cases} \end{eqnarray*}$

eurer Meinung nach keine Lösung dieses AWP ist? Muss ja so sein, wenn ihr die eine gefunden habt, die eurer Meinung nach eindeutig ist...

P.S.: Es hätte keinen Zwischenruf von mir hier gegeben, wenn die Aufgabenstellung einfach

"Man soll nun eine Lösung dieses AWPs bestimmen."

gelautet hätte. Dann gibt man $\begin{eqnarray*} y(x) = \frac{x^3}{27} \end{eqnarray*}$ an, und alle sind zufrieden. Aber so lautet die Aufgabenstellung nicht - im Gegenteil: Die Formulierung dort ist ein Wink mit dem Zaunpfahl, dass man die Möglichkeit mehrerer Lösungen nicht außer Acht lassen sollte. Und wenn "sämtliche" gefordert sind, muss man auch sämtliche angeben, nicht nur eine.

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