Kleinsche Vierergruppe

29.04.2014, 13:03	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
Kleinsche Vierergruppe Hallo, da bin ich wieder=) Ich abe hier 2 Aufgaben die ich nicht kann. Hoffe mir kann jemand helfen. Sei $\begin{eqnarray} G=\left\{ 1, 3, 5, 7\right\} \end{eqnarray}$ die Gruppe mit Multiplikation modulo 8 als Verknüpfungsoperation. Zeige, dass es einen Isomorphismus zwischen V und der kleinschen Vierergruppe gibt. Eine Verknüpfungstabelle der kl. Vierergruppe (mod 2) habe ich. Die andere Aufgabe ist glaube ich greifbarer. Sei $\begin{eqnarray} V= \left\{ id, \tau_{1,2} \tau_{3,4}, \tau_{1,3} \tau_{2,4}, \tau_{1,4} \tau_{2,3} \right\} \subset \sum(4) \end{eqnarray}$ wo tai Vertauschungen sind. Zeige, dass V eine Untergruppe von Summe_4 ist und dass es einen Isomorphismus zwischen V und der kl. Vierergruppe gibt. Also ich habe bei beiden Aufgaben kein Plan wie ich das mit dem Isopmorphismus zeige. Bei der zweiteen jedoch, glaube ich bissl zu wissen, was zu tun ist. Da gehts ja um Permutationen mit 4 Elementen (1 2 3 4). In der Menge stehen 4 Permutationen. Und nun?
29.04.2014, 15:23	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kleinsche Vierergruppe hallo, die kleinsche vierergruppe hat doch die form {1,a,b,ab} mit der eigenschaft a^2=b^2=1. Wenn diese gruppe isomorph zu {1,3,5,7} ist, Muss man ja jdem element aus der einen gruppe einem aus der anderen gruppe zuordnen können, und die oben genannten eigenschaften müssen erhalten bleiben. Mein tip: die elemente stehen schon in der richtigen reihenfolge Dann überleg mal weiter... gruss ollie3
29.04.2014, 18:40	akamanston	Auf diesen Beitrag antworten »
haha, du lump=) ich glaub ich weiß was du meinst. wenn ich modulo 8 über die Menge {1 3 5 7} mache. dann kommt {1 1 1 1} heraus. und die elemente sind die gleichen, wie die aus der kleinschen vierergruppe. ist das damit schon gezeigt? wass meintest du mit reihenfolge? die spielt doch in dem fall keine rolle, weil jedes element den wert 1 hat?! Muss ich bei der zweiten aufgabe sämtliche möglichkeiten der permutationen hinschreiben, die möglich sind? oder erstmal die vier permutationen aus der angabe hinschreiben? $\begin{eqnarray} \tau_{1,2} \tau_{3,4}= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 2 & 1 & 3 &4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 1 & 2 & 4 &3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 &4 \\ 2 & 1 & 3 &4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ist das richtig? usw. ... ??
29.04.2014, 19:10	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, gehen wir die sache von vorne an. Wenn 2 gruppen isomorph sind, heisst das, das man eine bijektive abbildung zwischen ihren elementen angeben kann und dass sie sich bei der verknüpfung gleich verhalten. In diesem fall würde das heissen 1=1, a=3, b=5, ab=7. Und jetzt kann man die rechenregeln überprüfen; es soll ja a^2=b^2=1 sein. Und tatsächlich ist a^2=3^2=9=1 mod 8. Dann überprüfe mal ob für b^2=1 und ob ab=7 richtig ist. Wenn alles stimmt, sind die gruppen isomorph. gruss ollie3

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