Homomorphismus von Z3xZ3 zu Z9 (additive Gruppen)

30.04.2014, 09:32

Matze3311

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Homomorphismus von Z3xZ3 zu Z9 (additive Gruppen)

Meine Frage:
Hallo zusammen, ich habe hier folgenden Link von Yahoo Answers:
http://goo.gl/hv7Mj8

Meine Frage bezieht sich gleich auf die erste (Best Answer) Antwort:
Dort nimmt sich der Author zwei Elemente aus Z3 x Z3 und zeigt, dass es keinen Homomorphismus zwischen diesen beiden Gruppen gibt.

Dabei habe ich nicht verstanden, wie / warum man von den beiden addierten Komponenten (0,1) + (0,2) = (0,0) mod3, einfach im Anschluss 0 + 0 = 0 mod 9 rechnen darf. Mit anderen Worten: Ich habe Probleme diesen Übergang von Z3 x Z3 zu Z9 zu verstehen.

Wo steht dieser Rechenvorgang als Vorschrift (hat jemand Links)???

Tut mir leid, dass ich auf diese Weise (Link) fragen muss, aber ich weiß nicht wie man dieses Vorgehen nennt und somit nicht wonach ich Googeln sollte.

Meine Ideen:
S.o.

30.04.2014, 10:20

Captain Kirk

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Hallo,

weil $\begin{eqnarray*} f(a),f(b) \in \mathbb Z / 9 \mathbb Z \end{eqnarray*}$ und nicht in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z/3\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Ferner zeigt freond1 damit nicht das es keinen Isomorphismus gibt, sondern, dass der Abb. der anderen Antwort kein Isom. ist. Und das sagt er auch.

Zitat:

Wo steht dieser Rechenvorgang als Vorschrift (hat jemand Links)???

In der Def. der Abbildung. Leider hab ich dafür keinen Link.

30.04.2014, 11:07

Matze3311

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Ich habe leider immer noch nicht verstanden, wie ich damit rechnen soll. Vielleicht anders gefragt:

Ich will eine Funktion definieren, welche von Z12 auf (Z3 x Z4) abbildet.
Heißt: Auf der Eingabeseite habe ich ein Element (a) und auf der Ausgabeseite ein geordneteres Tupel (x,y) und meine Funktion macht nun irgendetwas, dass genau dieses (a) auf (x,y) abgebildet wird.

Wie soll da meine Funktion definieren?

30.04.2014, 11:16

Captain Kirk

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Zitat:

Heißt: Auf der Eingabeseite habe ich ein Element (a) und auf der Ausgabeseite ein geordneteres Tupel (x,y) und meine Funktion macht nun irgendetwas, dass genau dieses (a) auf (x,y) abgebildet wird.

Ja, genau das heißt es.

Zitat:

Wie soll da meine Funktion definieren?

Man kann z.B. eine Abb. definieren, indem man jedem Wert der Urbildmenge explizit einen der Bildmenge zuordnet. (geht bei endlicher Urbildmenge)

Soll es irgendeine Abb. sein oder soll die auch noch zusätzliche Bedingungen erfüllen?

30.04.2014, 11:20

Matze3311

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Eine einfache Funktion die man gut nachvollziehen kann, bitte :-)

30.04.2014, 11:25

Captain Kirk

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Die einfachste Abb. ist: $\begin{eqnarray*} f: \mathbb Z/12 \mathbb Z \to \mathbb Z/3 \mathbb Z \times \mathbb Z/ 4\mathbb Z, \quad x \mapsto (0,0) \end{eqnarray*}$ die Nullabb.

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30.04.2014, 12:46

Matze3311

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Ja ok, soweit habe ich es verstanden. Jedes beliebige Element aus Z12 wird auf (0,0) in Z3xZ4 geschickt.

Aber wie sollte folgendes aussehen:
Definiere eine Funktion hierfür:
f: 7Z -> Z3xZ4 mit f(7) = (2,3) ???

Mein Ansatz wäre so etwas:
f(x) = x-5, x-4 (Wobei mich mein Komma verunsichert. Ist das richtig?)

Wählt man für x = 7, so erhält man (7-5=2, 7-4=3) und die Bedingung, dass für x=7 das Tupel (2,3) erscheint ist erfüllt...

30.04.2014, 13:32

Captain Kirk

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Zitat:

Definiere eine Funktion hierfür: f: 7Z -> Z3xZ4 mit f(7) = (2,3)

Bitte den Originalwortlaut der Aufgabenstellung an.
Das was hier steht ist Kauderwelsch.

30.04.2014, 14:20

Matze3311

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Das ist die Aufgabe:

Given the additive groups Z3 and Z4
1) List the elements of G = Z3 x Z4 and define the operation on G using the operations on Z3 and Z4
2) Determine the order of 23 = (2,3) in G
3) Extend the mapping phi : Z12 -> G with phi(7) = 23 to an iso. By giving a list of the values of phi for all elements of Z12
4) Def. an iso. Between Z3 x Z4 and Z4 x Z3 if possible

Ist nur abgeschmiert, genauer hab ichs leider nicht.
---
Was ich habe:

Zur 1)
(Tupel ohne extra Klammern)
Z3xZ4 = {00, 01, 02, 03, 10, 11, 12, 13, 20, 21, 22, 23}
Operation: Ich weiß nicht wie ich die ausdrücken soll, wohl aber wie sie funktioniert:
(a,b) + (x,y) = (a+x mod 3, b+y mod4)

Zur 2)
Order of 23 hab ich nach obiger Operation durchgeführt (also durch ständiges aufaddieren von 23 alle Element erhalten, welche durch 23 erzeugt werden. Diese sind 10.

Zur 3) Tja, ab hier hängts nun...

30.04.2014, 14:47

Captain Kirk

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Die Übersetzung von map bzw. mapping ins Deutsche ist Abbildung, nicht Funktion (das wäre function)

Zitat:

Order of 23 hab ich nach obiger Operation durchgeführt (also durch ständiges aufaddieren von 23 alle Element erhalten, welche durch 23 erzeugt werden. Diese sind 10.

Kann sich nicht sein. Die Ordnung muss die Gruppenordnung teilen, 10 teilt 12 nicht.
10*23=(10*2 mod 3,10*3 mod 4)=(2 mod 3, 2 mod 4)

Zitat:

3) Extend the mapping phi : Z12 -> G with phi(7) = 23 to an iso. By giving a list of the values of phi for all elements of Z12

Die Abb. soll zu einem Iso. erweitert werden, insbesondere zu einem Homomorphismus.
Der Hinweis steht ja auch schon dabei: Was muss denn z.b. phi(2)=phi(2*7) sein.

Zitat:

Ist nur abgeschmiert, genauer hab ichs leider nicht.

Damit kann man im Gegensatz was du vorher geschrieben hast wenigstens was anfangen. Abschmieren ist in der Mathematik aber generell eine blöde Idee, da es sehr wesentlicher Teil der Mathematik Exaktheit, insb. der Sprache, ist: z.B. der Unterschied zwischen erweitern (in der Aufgabenstellung) und definieren in deinem vorigen Post.

30.04.2014, 15:16

Matze3311

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Zitat:

Order of 23 hab ich nach obiger Operation durchgeführt (also durch ständiges aufaddieren von 23 alle Element erhalten, welche durch 23 erzeugt werden. Diese sind 10.

Da hab ich mich auf meinem Blatt verlesen. 23 ist ein Erzeuger von G.Somit ist Ord(23) = 12 und <23> = G
Und ja, dass die Untergruppenordnung die der Obergruppe ganz teilt (also 1, 2, 3, 4, 6, 12 mögliche Ordnungen für Untergruppen nach Lagrange) hab ich grade ausgeblendet.

Ist die Operation richtig, welche ich definiert habe bzw. ist das Formal korrekt?:

Zitat:

Operation: Ich weiß nicht wie ich die ausdrücken soll, wohl aber wie sie funktioniert:
(a,b) + (x,y) = (a+x mod 3, b+y mod4)

Zitat:

Die Abb. soll zu einem Iso. erweitert werden, insbesondere zu einem Homomorphismus.
Der Hinweis steht ja auch schon dabei: Was muss denn z.b. phi(2)=phi(2*7) sein.

Darum kümmere ich mich jetzt. Brauche aber noch etwas dazu...

30.04.2014, 15:25

Captain Kirk

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Zitat:

Ist die Operation richtig, welche ich definiert habe bzw. ist das Formal korrekt?:

Ist ist vage genug um nicht falsch zu sein.

Zitat:

Darum kümmere ich mich jetzt. Brauche aber noch etwas dazu...

Ja, die Def. eines Gruppenhomomorphismus.

30.04.2014, 21:32

Matze3311

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Hallo Kirk, nur zur Info: Ich kam heute leider nicht mehr dazu eine Lösung zu erstellen. Aber ich werde morgen Vormittag eine haben. Wäre super, wenn Du dann nochmal hier rein schaust.

Gruß

01.05.2014, 11:56

Matze3311

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Hallo. Ok, also ich habe folgendes:
1,2) stand bereits oben

3) Isomorphismus generieren:
Ein Gruppenisomorphismus ist grundsätzlich möglich, wenn beide Gruppen die selbe Ordnung haben und beide Gruppen zyklisch sind.
Das ist in Z3xZ4 mit <(23)> als Erzeuger und auch in Z12 mit <7> (oder alternativ auch z.B. <1>) der Fall.

Der Gruppenhomomorphismus besagt nun, dass für alle Elemente aus Z12 gilt: phi(a+b mod12) = phi(a) + phi(b) mod Z3xZ4
Außerdem gilt bei Gruppenhomomorphismen: phi(eZ12) = eZ3xZ4 (Neutrales Element in Z12 wird auf neutrales Element in Z3xZ4 abgebildet).

So, basierend auf obigen habe ich nun folgendes:
phi(0) = (0,0) = 00 (da weniger zu schreiben)
phi(7) = 23
phi(7+7 mod 12) = phi(7) + phi(7) mod Z3xZ4 = 23 + 23 mod Z3xZ4 = 12. Daher ist phi (2) = 12 // Bem. 7+7 mod 12 = 2 -> phi(2)
phi(7+2 mod 12) = phi(7) + phi(2) mod Z3xZ4 = 23 + 12 mod Z3xZ4 = 01. Daher ist phi (9) = 01
phi(7+9 mod 12) = phi(7) + phi(9) mod Z3xZ4 = 23 + 01 mod Z3xZ4 = 20. Daher ist phi (4) = 20
phi(7+4 mod 12) = phi(7) + phi(4) mod Z3xZ4 = 23 + 20 mod Z3xZ4 = 13. Daher ist phi (11) = 13
phi(7+11 mod 12) = phi(7) + phi(11) mod Z3xZ4 = 23 + 13 mod Z3xZ4 = 02. Daher ist phi (6) = 02
phi(7+6 mod 12) = phi(7) + phi(6) mod Z3xZ4 = 23 + 02 mod Z3xZ4 = 21. Daher ist phi (1) = 21
phi(7+1 mod 12) = phi(7) + phi(1) mod Z3xZ4 = 23 + 21 mod Z3xZ4 = 10. Daher ist phi (8) = 10
phi(7+8 mod 12) = phi(7) + phi(8) mod Z3xZ4 = 23 + 10 mod Z3xZ4 = 03. Daher ist phi (3) = 03
phi(7+3 mod 12) = phi(7) + phi(3) mod Z3xZ4 = 23 + 03 mod Z3xZ4 = 22. Daher ist phi (10) = 22
phi(7+10 mod 12) = phi(7) + phi(10) mod Z3xZ4 = 23 + 22 mod Z3xZ4 = 11. Daher ist phi (5) = 11

So, alle durch. Eine Isomorphe Abbildung zwischen Z12 und Z3xZ4

4) Definiere Iso zwischen Z3xZ4 und Z4xZ3
Ja ist möglich, da beide (additive) Gruppen zyklisch sind und beide die selbe Ordnung haben:
Z3xZ4 hat z.B. <23> als Erzeuger. Es ist <23> = Z3xZ4
Z4xZ3 hat z.B. <32> als Erzeuger. Es ist <32> = Z4xZ3

Nach Homomorphie gilt auch hier:
phi(eZ3xZ4) = eZ4xZ3
Zwei Elemente der selben Ordnung aus beiden Gruppen habe ich auch: (23) und (32)
Und jetzt kann ich die Isomorphie wieder wie oben bestimmen:
phi(00) = 00
phi(23) = 32
phi(23 + 23 mod Z3xZ4) = phi(23) + phi(23) mod Z3xZ4 = 32 + 32 mod Z4xZ3 = 21. Daher ist phi(12) = 21 // Bem. 23 + 23 mod Z3xZ4 = 12 -> phi (12)
so... und für die verbleibenden wird analog gerechnet.

ok soweit?

02.05.2014, 09:39

Captain Kirk

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Soweit ich es sehe (hab's nicht im Detail nachgerechnet) ist die c) und d) richtig. Freude

Freude

Allerdings machst du dir bei der d) das Leben unnötig selbst schwer:
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z /3\mathbb Z \times \mathbb Z /4 \mathbb Z \to \mathbb Z /4\mathbb Z \times \mathbb Z /3 \mathbb Z, \quad (x,y) \mapsto (y,x) \end{eqnarray*}$
ist ein Iso.

02.05.2014, 11:50

Matze3311

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Hallo Kirk, danke für die Unterstützung!

---

Um nochmal kurz auf meine initiale Frage zurück zu kommen... Ich habe nochmal versucht mit das Gegenbeispiel zu veranschaulichen, warum Z3xZ3 nicht isomorph zu Z9 ist. Abgesehen davon, dass Z3xZ3 nicht zyklisch ist kann es keinen Iso zu Z9 geben- ich möchte es dennoch so zeigen.

Meine Funktion soll sein: f(a,b) = a+b

Dazu habe ich auch den Gruppenhomomorphismus genutzt:
(G, +Z3²)
(H, +Z9)
Für alle a,b aus G gilt
f(a+b mod Z3²) = f(a) + f(b) mod Z9

Wie freond1 wähle ich die Elemente aus G:
a = (01)
b = (02)

a,b einsetzen...:
f(a + b mod Z3²) = 01 + 02 mod Z3² = 00, 0 + 0 = 0

f(a) + f(b) mod Z9 = f(01) + f(02) mod Z9 = 01 + 02 mod Z9 = 03 = 0 + 3 = 3

Also ist f(a + b mod Z3²) ungleich f(a) + f(b) mod Z9.

Ist das so korrekt? Ich habe das Gefühl das ich irgendwas mit den Operatoren durcheinander bringe verwirrt

verwirrt

02.05.2014, 21:37

RavenOnJ

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Was soll denn f(a + b mod Z3²) usw. bedeuten?

Dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3\times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_9 \end{eqnarray*}$ nicht isomoph sein können kannst du schon daran erkennen, dass erstere zwei Erzeuger benötigt, letztere hingegen als zyklische Gruppe nur einen.

03.05.2014, 07:01

Matze3311

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Hallo,mit

Zitat:

Was soll denn f(a + b mod Z3²) usw. bedeuten?

zeige ich wie ich mit den Elementen a,b rechne. Also folgend:
a+b modZ3² = a+b modZ3xZ3 als (a,b) + (c, d) modZ3xZ3 = (a+c modZ3xZ3, b + d modZ3xZ3)

ist das nicht korrekt ausgedrückt? Könntest du bitte einen Link geben, damit ich das nachlesen kann wie's richtig ginge?

03.05.2014, 09:53

RavenOnJ

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Wie man die Modulorechnung in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3\times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ korrekt ausdrückt, weiß ich gerade nicht, so wie du auf alle Fälle nicht. (Vielleicht wäre es durch $\begin{eqnarray*} a+b\!\!\!\mod (3,3) \end{eqnarray*}$ korrekt ausgedrückt.) Du hast ja auch in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_9 \end{eqnarray*}$ die Rechnung durch " f(a) + f(b) mod Z9" ausgedrückt, anstatt f(a) + f(b) mod 9.

Ansonsten kannst du die Addition in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_3\times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ einfach ohne Modulorechnung ausdrücken, also beispielsweise (1,2)+(2,2)=(0,1), wenn klar ist, in welcher algebraischen Struktur du dich befindest.

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