Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen

01.05.2014, 16:31

Asliv

Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen

Hallo!

Ich bearbeite gerade folgende Aufgabe:

Sei G Gruppe, U und K endliche Untergruppen von G. Seien p,q,r verschiedene Primzahlen, sodass |G|=pqr, |U|=pq und |K|=qr.
Beweisen Sie, dass dann gilt: $\begin{eqnarray*} | U \cap K| = q \end{eqnarray*}$ .

Was ich bis jetzt gezeigt habe:

- $\begin{eqnarray*} | U \cap K| \end{eqnarray*}$ teilt q
- es ex. $\begin{eqnarray*} x,y \in K, x \neq y: xU=yU \end{eqnarray*}$
- es gilt $\begin{eqnarray*} x^{-1}y \in U \cap K \end{eqnarray*}$

Mein Problem:

Dass man das mit den x und y zeigen soll, war ein Hinweis. Ich sehe nun aber nicht inwiefern mir das hilft zur Behauptung zu kommen.
Kann mir jemand bei diesem letzten Schritt helfen?

MfG

01.05.2014, 17:24

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RE: Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen
Welcher Teiler hat q?

01.05.2014, 17:31

Asliv

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RE: Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen

Zitat:

Welcher Teiler hat q?

Nur 1 und q, da Primzahl.

Ahhh, ich brauche also nur noch zeigen, dass $\begin{eqnarray*} | U \cap K| \neq 1 \end{eqnarray*}$ . Richtig?
Und das ist es nicht, da

$\begin{eqnarray*} U \cap K \end{eqnarray*}$ Untergruppe von G, also das neutrale Ele. aus G enthält
und $\begin{eqnarray*} x^{-1}y \end{eqnarray*}$ enthält, wobei sicher $\begin{eqnarray*} x^{-1}y\neq id \end{eqnarray*}$ , da x und y verschieden.

Also $\begin{eqnarray*} | U \cap K| \neq 1 \end{eqnarray*}$ und daher ist die Ordnung q.

Richtig?

01.05.2014, 17:40

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RE: Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen
So einfach kann es sein Freude

01.05.2014, 17:45

Asliv

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RE: Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen
Danke dir! Hammer

Dieser kleine Denkanstoss fehlte mir. Big Laugh

01.05.2014, 17:49

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RE: Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen
Wie hast du eigentlich gezeigt, dass es ex. $\begin{eqnarray*} x,y \in K, x \neq y: xU=yU \end{eqnarray*}$
Ich würde $\begin{eqnarray*} |G/U|=(pqr)/(pq)=r<|K| \end{eqnarray*}$ benutzen. Ist dir etwas anderes eingefallen?

01.05.2014, 17:51

Asliv

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RE: Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen
Genau das habe ich verwendet und dann mit dem Schubfachprinzip argumentiert. smile

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Gruppe, Untergruppe, Nebenklassen

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