Primfaktorzerlegung

01.05.2014, 22:11

NGC1365

Primfaktorzerlegung

Meine Frage:
Hallo smile

Ich wollte mal fragen, ob jemand erklären kann, wieso die Primzahlen einer Zahl multipliziert zusammen, wieder diese ergeben?
Was ist das Gesetz dahinter?

Liebe Grüße

Meine Ideen:
...

01.05.2014, 22:17

10001000Nick1

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Deine Frage verstehe ich nicht so ganz: Möchtest du wissen, wieso man jede natürliche Zahl größer 1 eindeutig (bis auf die Reihenfolge) in ein Produkt von Primzahlen zerlegen kann?

01.05.2014, 22:22

NGC1365

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Ja genau, warum ist das so?

01.05.2014, 22:44

10001000Nick1

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Erstmal zeigt man, dass jedes $\begin{eqnarray*} n\in\mathbb{N}, n>1 \end{eqnarray*}$ einen kleinsten Primteiler besitzt.
Dazu betrachte die Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{a\in\mathbb{N}\ |\ a>1 \text{ und } a|n\} \end{eqnarray*}$ .
Jetzt überlegst du dir, warum M ein minimales Element besitzen muss und warum dieses der kleinste Primteiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Damit kann man jetzt zeigen, dass für $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine eindeutige Primfaktorzerlegung (bis auf Reihenfolge der Faktoren) existiert.

Existenz:
$\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ besitzt einen kleinsten Primfaktor $\begin{eqnarray*} p_1 \end{eqnarray*}$ . Falls $\begin{eqnarray*} p_1=n \end{eqnarray*}$ , sind wir fertig. Falls $\begin{eqnarray*} p_1<n \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p_1}\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p_1}>1 \end{eqnarray*}$ . Also wiederholt man diesen Schritt für $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p_1} \end{eqnarray*}$ und erhält den kleinsten Primteiler $\begin{eqnarray*} p_2 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p_1} \end{eqnarray*}$ usw.
Jetzt musst du wieder überlegen, warum dieses Verfahren irgendwann stoppt, also warum für ein $\begin{eqnarray*} k\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} \frac{n}{p_1p_2...p_k}=1 \end{eqnarray*}$ .

Eindeutigkeit:
Nimm an, dass es zwei Primfaktorzerlegungen von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ gibt: $\begin{eqnarray*} n=p_1p_2...p_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} n=q_1q_2...q_l \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p_i\in\mathbb{P} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\{1,...,k\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q_i\in\mathbb{P} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\{1,...,l\} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} p_1\leq p_2\leq ...\leq p_k \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} q_1\leq q_2\leq ...\leq q_l \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} k,l\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$ .

Zeige jetzt, dass $\begin{eqnarray*} k=l \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p_i=q_i \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} i\in\{1, ..., k\}=\{1,..., l\} \end{eqnarray*}$ .

01.05.2014, 23:09

NGC1365

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Dankeschön smile

Okay, das war ziemlich ausführlich, aber Big Laugh

ich verstehe das nicht so ganz.
Bis eben dachte ich, ich wäre gut in Mathe. Ich bin ziemlich deprimiert Big Laugh

Gut, dass ich Mathe nur als 3tes Abifach gewählt habe, wer weiß was mich im LK erwartet hätte.
Big Laugh

Ich habe mir jetzt überlegt, warum das minimale Element von M der kleinste Primteiler von n sein muss.
Und ich muss leider sagen, dass ich es nicht weiß.
Kannst du es vielleicht ein bisschen anders erklären?
Das wäre sehr lieb smile

01.05.2014, 23:39

10001000Nick1

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Sag doch gleich, dass du Schüler bist. Augenzwinkern

Aber ich kann dich beruhigen: So ein Beweis wird im Abitur nicht drankommen. Da geht es größtenteils ums Rechnen.

M ist eine Menge von natürlichen Zahlen. Sie besitzt also ein minimales Element genau dann, wenn $\begin{eqnarray*} M\neq \emptyset \end{eqnarray*}$ ist (das gilt aber nicht für beliebige Teilmengen der reellen Zahlen). Kannst du mir ein Element in M nennen? Denn dann wäre ja M nicht leer.

02.05.2014, 12:41

NGC1365

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Kannst du mir erst das erklären? Big Laugh

Das wäre nett.

M := {2, 3, 4, 6, 9, 12, 18} ist die Menge der nichttrivialen natürlichen Teiler der Zahl 36. Diese Menge ist bezüglich der Teilbarkeit partiell geordnet. Minimale Elemente sind 2 und 3, maximal sind 12 und 18. Es gibt kein kleinstes und kein größtes Element. Unter den ganzzahligen nichttrivialen Teilern von 36 sind 2,3,-2 und -3 minimal, während 12,18,-12 und -18 maximal sind.

Warum sind denn 2 und 3 beide das minimale Element?
Und beim maximalen Element 12 und 18?

Wir sind ja beide fast gleich alt und du knallst hier sowas raus. Ich sollte mich begraben gehen Big Laugh

02.05.2014, 15:58

10001000Nick1

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In der Menge $\begin{eqnarray*} M:=\{a\in\mathbb{N}\ |\ a>1 \text{ und } a|n\} \end{eqnarray*}$ ist doch auf jeden Fall die Zahl n enthalten. Denn n|n und n>1. Deswegen ist die Menge M nicht leer und besitzt deswegen ein minimales Element $\begin{eqnarray*} m:=\min M \end{eqnarray*}$ . Dieses Element ist sogar der kleinste Primteiler von n.
Begründung: Dass m ein Teiler von n ist, ist ja klar (die Menge M enthält sowieso nur Teiler von n). Dass m der kleinste Teiler von n ist, sollte auch klar sein.
Jetzt müssen wir noch zeigen, dass m auch eine Primzahl ist. Angenommen, $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ wäre keine Primzahl, dann gibt es ja eine Zahl $\begin{eqnarray*} b\in\mathbb{N}, 1<b<m \end{eqnarray*}$ , mit $\begin{eqnarray*} b|m \end{eqnarray*}$ . Dann teilt b aber auch die Zahl n (weil $\begin{eqnarray*} m| n \end{eqnarray*}$ ). Also ist dann $\begin{eqnarray*} b\in M \end{eqnarray*}$ . Wir hatten ja aber gesagt, dass $\begin{eqnarray*} b<m \end{eqnarray*}$ . Und deswegen kann m nicht das minimale Element von M sein. Also ist das ein Widerspruch zu der Annahme, m wäre keine Primzahl und deswegen muss m eine Primzahl sein.

Alles klar? smile

Zu deinem Beispiel n=36:
M ist nicht die Menge der nicht-trivialen Teiler von n, sondern die Menge der Teiler von n, die größer als 1 sind. D.h. die 36 selbst gehört auch mit zur Menge: $\begin{eqnarray*} M=\{2,3,4,6,9,12,18,36\} \end{eqnarray*}$ .
Und wieso sollten 2 und 3 das minimale Element von M sein? Das minimale Element ist hier 2 (einfach die kleinste Zahl in der Menge). Und das ist auch der kleinste Primteiler von 36.
Das maximale Element ist 36.

Zitat:

Original von NGC1365
Wir sind ja beide fast gleich alt und du knallst hier sowas raus. Ich sollte mich begraben gehen Big Laugh

Am Alter liegt das sicher nicht. Der Unterschied ist, dass du Schüler bist, während ich schon ein paar Semester Mathestudium hinter mir habe (bin jetzt im 4. Semester). Da ist es ganz normal, dass das für dich erstmal völlig unverständlich und ungewohnt aussieht. Also kein Grund zur Sorge. smile

03.05.2014, 14:58

tmo

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Zitat:

Original von 10001000Nick1
Und wieso sollten 2 und 3 das minimale Element von M sein? Das minimale Element ist hier 2 (einfach die kleinste Zahl in der Menge). Und das ist auch der kleinste Primteiler von 36.
Das maximale Element ist 36.

Die Menge ist ja durch Teilbarkeit partiell geordnet. Und bzgl. dieser Ordnung sind nunmal 2 und 3 beide minimal. (Die minimalen Elemente der nichttrivialen Teiler einer Zahl sind natürlich immer gerade die Primteiler).

Selbes Argument für 12 und 18 bzgl. maximalen Elementen.

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