Parabel/Kurve 2/3 punkte im Raum

02.05.2014, 00:31	luke_42	Auf diesen Beitrag antworten »
Parabel/Kurve 2/3 punkte im Raum Meine Frage: Hallo liebe Leute, Für ein STudienprojekt bräuchte ich ein Mathematisches verfahren durch die ich aus 2(auch 3 möglich) eine Kurve berechnet. Dies bräuchte ich für einen Bewegungsalgorithmus, d.h. ich habe eine Aktuelle-Position und eine Soll-Position, und anhand der beiden Punkte bräuchte ich eine gewisse Anazhl von Zwischenpunkte, um den Ablauf möglichst "flüssig" rüber zu bringen Meine Ideen: habe bereits DInge gefudne wie mit 3 Punkte eine Parabel aufstellen http://www.arndt-bruenner.de/mathe/10/parabeldurchdreipunkte.htm allerdings benötige ich so etwas für den raum(x,y,z) bzw. gibts da vl. schon einen Ansatz/Formel die ich dafür hernehmen könnte? lg
02.05.2014, 02:18	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Parabel/Kurve 2/3 punkte im Raum Eine Möglichkeit wäre, die Parabel durch 3 räumliche Punkte in die Ebene zu legen, in der sich die 3 Punkte befinden. Du hast z.B. die Punkte A(1\|4\|8), B(4,-3,6) und C(11,-5,-1) Sei $\begin{eqnarray} \vec{a}=\overrightarrow{AB}=\begin{pmatrix}3 \\ -7 \\ -2\end{pmatrix}, \vec{b}=\overrightarrow{AC}=\begin{pmatrix}10 \\ -9 \\ -9\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Die Ebene lässt sich durch 2 senkrechte Vektoren aufspannen: $\begin{eqnarray} \vec{x'}=\vec{a} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{y'}=\vec{b}-\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vec{a}\cdot\vec{a}}\cdot\vec{a} \end{eqnarray}$ Durch Normierung erhält man: $\begin{eqnarray} \vec{x}=\frac{\vec{x'}}{\|\vec{x'}\|}=\begin{pmatrix}0,381 \\ -0,889 \\ -0,254\end{pmatrix}, \vec{y}=\frac{\vec{y'}}{\|\vec{y'}\|}=\begin{pmatrix}0,582 \\ 0,444 \\ -0,681\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Nun rechnest du die 3-dimensionalen Koordinaten eines Punktes P(x\|y\|z) in 2-dimensionale P'(x'\|y') auf der Ebene wie folgt um: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x'\\ y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}(P-A)\cdot\vec{x} \\ (P-A)\cdot\vec{y}\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Es ergibt sich A'(0\|0), B'(7,874\|0}, C'(14,097\|7,953) Beide Koordinaten von A' sowie die y-Koordinate von B' sind immer null. Nun errechnest du die Parabelgleichung durch A', B' und C' Punkte P'(x'\|y') auf dem Graphen werden wieder in 3-dimensionale P(x\|y\|z) zurückgerechnet: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix}x\\ y\\z \end{pmatrix}=A+x'\vec{x}+y'\vec{y} \end{eqnarray}$
02.05.2014, 12:18	Luke_42	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke erstmal für die Antwort ich hab bei der $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ berechnung $\begin{eqnarray} \vec{a}=A und \vec{b}=B \end{eqnarray}$ sollte ich es so in Matlab/Octav eingeben können oder? Z=B-((A.B)/(A.A)).*A und dann Z/(norm(Z)) komm allerdings nicht auf das Richtige Ergebnis...(laut deinem Bspl) dann... für Punkt P nehme ich jeweils A, B und C oder um A',B', C' zu erhalten)
02.05.2014, 14:57	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
Um sicherzustellen, dass die Parabel die Punkte A,B,C in der richtigen Reihenfolge durchläuft und auch eine möglichst flache, gering gekrümmte zu erzeugen, nimmt man als $\begin{eqnarray} \vec{y} \end{eqnarray}$ besser die Winkelhalbierende zu $\begin{eqnarray} \angle ABC \end{eqnarray}$ Dann würde man mit den Vektoren $\begin{eqnarray} \vec{a}=\overrightarrow{BA}=\begin{pmatrix}-3 \\ 7 \\ 2\end{pmatrix}, \vec{b}=\overrightarrow{BC}=\begin{pmatrix}7\\ -2 \\ -7\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ rechnen. Achtung: $\begin{eqnarray} A\neq \vec{a},B\neq \vec{b} \end{eqnarray}$ ( du kannst auch $\begin{eqnarray} \vec{c} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \vec{d} \end{eqnarray}$ nehmen) Es ergibt sich $\begin{eqnarray} \vec{y'}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}+\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x'}=\vec{b}-\frac{\vec{y'}\cdot\vec{b}}{\vec{y'}\cdot\vec{y'}}\cdot\vec{y'} \end{eqnarray}$ Normierung $\begin{eqnarray} \vec{x}=\frac{\vec{x'}}{\|\vec{x'}\|}=\begin{pmatrix}0,597 \\ -0,605 \\ -0,527\end{pmatrix}, \vec{y}=\frac{\vec{y'}}{\|\vec{y'}\|}=\begin{pmatrix}0,356 \\ 0,789 \\ -0,501\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A'(0\|0) wie gehabt. Für B'(b1\|b2) rechnet man $\begin{eqnarray} b_1=(B-A)\vec{x}=\begin{pmatrix}3 \\ -7 \\ -2\end{pmatrix}\vec{x}=7,08 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} b_2=(B-A)\vec{y}=\begin{pmatrix}3 \\ -7 \\ -2\end{pmatrix}\vec{y}=-5,457 \end{eqnarray}$ C entsprechend. Dann hätte man A'(0\|0),B'(7,08\|-5,457) und C'(16,158\|0,968)
06.05.2014, 17:06	Luke_42	Auf diesen Beitrag antworten »
hättest du die ergebnisse von? häng irgendwo... $\begin{eqnarray} \vec{y'}=\frac{\vec{a}}{\|\vec{a}\|}+\frac{\vec{b}}{\|\vec{b}\|} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{x'}=\vec{b}-\frac{\vec{y'}\cdot\vec{b}}{\vec{y'}\cdot\vec{y'}}\cdot\vec{y'} \end{eqnarray}$
06.05.2014, 17:24	Luke_42	Auf diesen Beitrag antworten »
nvm, habs gelöst, klammerproblem im matlab..
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