ONB beweisen

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voodoo666 Auf diesen Beitrag antworten »
ONB beweisen
Hallo, versuche mich an folgendem Beweis:
[attach]34097[/attach]

Momentan bin ich noch bei Aufgabenteil a).
Meine Überlegung war: Wenn ich zeige dass H(u)* H(u)transponiert = In, dann ist H(u) orthogonal und somit bilden die Spalten eine ONB.

Ist das der richtige Weg? Wie würdet ihr das angehen?
Grüße und danke im voraus
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der richtige Ansatz. Einfach drauflosrechnen. Es geht alles wunderbar auf.
voodoo666 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Ja, das ist der richtige Ansatz. Einfach drauflosrechnen. Es geht alles wunderbar auf.


Bei mir leider nicht ganz. Ich habe kurz gezeigt dass gilt H(u) = H(u)transponiert.

Also berechne ich nun:


Nach Anwenden der Distributivgesetze für Matrixmultiplikation komme ich auf folgendes Ergebnis:


Damit ich letztendlich auf die Einheitsmatrix komme, müsste demnach ja gelten:


Was verstehe ich hier nicht?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Beim letzten Summand muss der Nenner quadriert werden. Und dann kürzt sich das einmal mit dem von oben weg und alles passt.
voodoo666 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Beim letzten Summand muss der Nenner quadriert werden. Und dann kürzt sich das einmal mit dem von oben weg und alles passt.

Wie blöd von mir.
Bin im Aufgabenteil b bisher gut weitergekommen, nur eine Frage hätte ich noch.
Ich bin mir nicht sicher ob ich das orthogonale Komplement genau definiert hab.
Ich soll das orthogonale Komplement von span{u} benutzen.

Liege ich richtig in der Annahme dass es sich dabei um diese Menge handelt?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, um diese Menge handelt es sich. Wobei es natürlich ausreicht die Orthogonalität nur für u zu testen und nicht für den ganzen Span von u.
 
 
voodoo666 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Ja, um diese Menge handelt es sich. Wobei es natürlich ausreicht die Orthogonalität nur für u zu testen und nicht für den ganzen Span von u.


Okay, dann geht auch alles auf. Was soll denn bei b für ein allgemeines v rausgekommen? Ich setze einfach ein aber da löst sich ja nix auf.

Grüße
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst doch jeden Vektor zerlegen in die zu u parallele und die zu u senkrechte Komponente.
voodoo666 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Du kannst doch jeden Vektor zerlegen in die zu u parallele und die zu u senkrechte Komponente.

Ich habe lange überlegt, aber ich finde einfach nicht heraus wie ich so einen allgemeinen Vektor darstellen könnte.
Grüße
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Da gibt es nicht viel herauszufinden. Es gilt

, also hat jeder Vektor die Darstellung , wobei wie aus b) ist (senkrecht zu u).
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