Funktionale und Nullräume

03.05.2014, 18:41

Gast0305

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Funktionale und Nullräume

Meine Frage:
Hallo,
ich komme gerade bei einer Aufgabe nicht weiter:
Es sind f, f1, ... fn lineare Funktionale auf einem endlichen K-VR und N, N1, ..., Nn die zugehörigen Nullräume.
Zu zeigen ist, dass genau dann wenn $\begin{eqnarray*} f\in span(f1,...,fn) \end{eqnarray*}$ ist, ist $\begin{eqnarray*} N1 \cap N2 ...\cap Nn \subseteq N \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mir fehlt da leider total der Ansatz, ich würde mich freuen, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Vielen Dank schon mal im voraus.

03.05.2014, 19:41

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RE: Funktionale und Nullräume
Dann fang mit $\begin{eqnarray*} f\in span(f1,...,fn) \end{eqnarray*}$ an. Was ist zu zeigen?

03.05.2014, 19:51

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Zu zeigen ist, dass $\begin{eqnarray*} N1 \cap ... Nn \subseteq N \end{eqnarray*}$ ist.

03.05.2014, 20:28

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RE: Funktionale und Nullräume
und wie zeigt man so eine Inklusion?

04.05.2014, 10:28

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Also, da muss man ja zeigen, dass jedes Element aus dem Schnitt auch ein Element aus N ist. Das ist aber klar, da f eine Linearkombination aus f1,...,fn ist.
Muss man bei dieser Richtung noch mehr zeigen?

04.05.2014, 10:35

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RE: Funktionale und Nullräume
Nein, das war es schon

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04.05.2014, 10:38

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Ok. Es ist ja eine "genau dann wenn" - Aussage, dh. ich muss noch zeigen, dass wenn der Schnitt eine Teilemenge von N ist, dann ist f im span von f1,..,fn , oder?

04.05.2014, 10:39

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RE: Funktionale und Nullräume
Genau

04.05.2014, 10:45

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Gut.
Im Fall eines Elementes aus dem Schnitt ist mit klar, dass ich f als Lin.kombination darstellen kann. Mein Problem ist jetzt gerade, dass ich mich frage, wie ich das allgemein für irgendein v aus V zeigen kann, dass dann auch f eine Lin.kombination aus f1,...,fn ist.

04.05.2014, 11:15

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Kannst du mir vielleicht einen Ansatz geben bzw. bin ich überhaupt auf dem "richtigen Weg" ?
Das wäre super, wenn du mir helfen würdest.

04.05.2014, 11:36

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RE: Funktionale und Nullräume

Zitat:

Original von Gast0305
Gut.
Im Fall eines Elementes aus dem Schnitt ist mit klar, dass ich f als Lin.kombination darstellen kann. Mein Problem ist jetzt gerade, dass ich mich frage, wie ich das allgemein für irgendein v aus V zeigen kann, dass dann auch f eine Lin.kombination aus f1,...,fn ist.

Das klingt so, als würdest du versuchen, für ein festes v zu zeigen, dass f(v) Linearkombination der f_i(v) ist. Das reicht nicht. Es muss $\begin{eqnarray*} f=\alpha_1f_1+\ldots+\alpha_nf_n \end{eqnarray*}$ sein.
Man muss bedenken, dass es sich um Linearformen handelt. Was weißt du über die Dimension des Kerns einer Linearform?

04.05.2014, 12:28

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume

Zitat:

Original von URL
Das klingt so, als würdest du versuchen, für ein festes v zu zeigen, dass f(v) Linearkombination der f_i(v) ist. Das reicht nicht. Es muss $\begin{eqnarray*} f=\alpha_1f_1+\ldots+\alpha_nf_n \end{eqnarray*}$ sein.
Man muss bedenken, dass es sich um Linearformen handelt. Was weißt du über die Dimension des Kerns einer Linearform?

Ah ok. Meinst du, dass dim ker(f)+dim im(f)=dim V ?

04.05.2014, 16:43

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RE: Funktionale und Nullräume
Im Grund ja. Damit sieht man, dass dim ker(f)=dim V -1 ist (zumindest wenn f nicht das Nullfunktional ist und der Fall ist ohnehin klar). Also kann man eine Basis von ker(f) mit einem Vektor zu einer Basis von V ergänzen und ich dachte, von da aus ist man gleich fertig. War aber leider falsch. Momentan habe ich leider keine prickelnde Idee unglücklich

unglücklich

04.05.2014, 17:06

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RE: Funktionale und Nullräume
Ist n=dim (V) ? Dann kann man wahrscheinlich über ein hom. lin GLS argumentieren.

04.05.2014, 17:34

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Nein, dim (V) ist nicht zwingend gleich n.
Falls du noch irgendeinen Einfall hast, dann wäre es super, wenn du es mich wissen lässt. smile

smile

04.05.2014, 19:53

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RE: Funktionale und Nullräume
Vielleicht so: Wir können annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots, f_k \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
Nimm an, $\begin{eqnarray*} f\notin span(f_1,...,f_k) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f,f_1,\ldots,f_k \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} span(f, f_1,\ldots ,f_k) \end{eqnarray*}$ . Dazu gibt es eine duale Basis $\begin{eqnarray*} b,b_1,\ldots,b_n \end{eqnarray*}$ .
Dann kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b\in\cap_{j=1}^kN(f_j)=\cap_{j=1}^n N(f_j) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} b\notin N(f) \end{eqnarray*}$

04.05.2014, 20:12

Che Netzer

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Zum Beweis dieser Aussage nutzt man oft folgendes Lemma:
Es seien $\begin{eqnarray*} E_1 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} E_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} E_3 \end{eqnarray*}$ Vektorräume und $\begin{eqnarray*} f\colon E_1\to E_3 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} g\colon E_1\to E_2 \end{eqnarray*}$ lineare Abbildungen. Dann gibt es genau dann ein lineares $\begin{eqnarray*} h\colon E_2\to E_3 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f=h\circ g \end{eqnarray*}$ , wenn der Kern von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ den von $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ enthält.

Ich würde dazu ja ein Diagramm erstellen, aber das geht hier im Forum nicht...

Jedenfalls ist die Dimension der Vektorräume für den Beweis dann sogar unerheblich.

04.05.2014, 20:14

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume

Zitat:

Original von URL
Vielleicht so: Wir können annehmen, dass $\begin{eqnarray*} f_1,\ldots, f_k \end{eqnarray*}$ linear unabhängig sind.
Nimm an, $\begin{eqnarray*} f\notin span(f_1,...,f_k) \end{eqnarray*}$ . Dann ist $\begin{eqnarray*} f,f_1,\ldots,f_k \end{eqnarray*}$ Basis von $\begin{eqnarray*} span(f, f_1,\ldots ,f_k) \end{eqnarray*}$ . Dazu gibt es eine duale Basis $\begin{eqnarray*} b,b_1,\ldots,b_n \end{eqnarray*}$ .
Dann kann man zeigen, dass $\begin{eqnarray*} b\in\cap_{j=1}^kN(f_j)=\cap_{j=1}^n N(f_j) \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} b\notin N(f) \end{eqnarray*}$

Ok, wieso muss es b1,...,bn sein und nicht b1,...,bk? Und verstehe ich das richtig, b1,...,bn sind wieder lineare Funktionale?

04.05.2014, 20:22

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RE: Funktionale und Nullräume

Zitat:

Original von Gast0305
Ok, wieso muss es b1,...,bn sein und nicht b1,...,bk?

es muss natürlich b_1,..,b_k sein und das sind Element aus V

04.05.2014, 20:49

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
und N(f_j) sind die Nullräume zu f_j?

04.05.2014, 21:01

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
$\begin{eqnarray*} b\in\cap_{j=1}^kN(f_j)=\cap_{j=1}^n N(f_j) \end{eqnarray*}$

Kann man hier so argumentieren, dass der Schnitt der N_j eine Teilmenge von N ist, deswegen ist b ein Element aus dem Schnitt von N(f_j) ?

04.05.2014, 21:14

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RE: Funktionale und Nullräume
Ja, N(f_j) ist der Nullraum zu f_j.

b ist ein Element der dualen Basis. Deswegen gilt f_j(b) = 0 für j=1,..k
Für $\begin{eqnarray*} \cap_{j=1}^kN(f_j)=\cap_{j=1}^n N(f_j) \end{eqnarray*}$ musst du benutzen, dass $\begin{eqnarray*} f_{k+1},\ldots f_n\in span(f_1,\ldots , f_k) \end{eqnarray*}$ sind. Das gilt, weil die f_1,...,f_k gerade die linear unabhängigen Funktionale unter den f_1,..,f_n sind.

04.05.2014, 21:25

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Dann muss ich jetzt zeigen, dass b nicht in N ist.
Kann es sein, dass f(b) = 1 ist und dies ist ungleich Null, also ist b nicht in N.
Oder bin ich gerade auf dem Holzweg?

04.05.2014, 21:36

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RE: Funktionale und Nullräume
so hatte ich mir das gedacht

04.05.2014, 21:40

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Dann bin ich jetzt fertig mit der Rückrichtung, oder?

04.05.2014, 22:34

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RE: Funktionale und Nullräume
Einige Details müssen sicher genauer ausgeführt werden, aber im Grunde ja, fertig

04.05.2014, 22:42

Gast0305

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RE: Funktionale und Nullräume
Ok smile

smile

Vielen Dank für die Hilfe smile

smile

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