Abzählbar-unendliches ZE

05.05.2014, 18:25	Eudoxos	Auf diesen Beitrag antworten »
Abzählbar-unendliches ZE Aufgabe: Es sei $\begin{eqnarray} (\Omega,p_n)_{n\in \mathbb N_0} \end{eqnarray}$ eine Folge von Abzählbar-unendliches Zufalls Experimente über ein und derselben Menge $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (P_n) \end{eqnarray}$ sei die Folge der zu $\begin{eqnarray} p_n \end{eqnarray}$ gehörenden Wahrscheinlichkeits Verteilungen über $\begin{eqnarray} \Omega \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: $\begin{eqnarray} (i) p_n\to p_0 \text{ punktweise, dh} \lim_{n\to \infty} p_n(\omega) = p_0(\omega) \,\,\, \forall \omega \in \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (ii) P_n\to P_0 \text{ punktweise, dh} \lim_{n\to \infty} P_n(A) = P_0(A) \,\,\, \forall A \subset \Omega \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (iii) P_n\to P_0 \text{ gleichmäßig, dh} \lim_{n\to \infty} sup_{A\subset \Omega} \left\{\|P_n(A) = P_0(A)\|\right\} \,\,\, \forall A \subset \Omega \end{eqnarray}$ Hinweis: Betrachte eine Abzählung von $\begin{eqnarray} \Omega=\left\{\omega_1,\omega_2,... \right\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \epsilon \end{eqnarray}$ mindestens ein $\begin{eqnarray} N_p\in \mathbb N \end{eqnarray}$ mit: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{i=1}^{N_p} p(\omega_i)>1-\epsilon \end{eqnarray}$ Ansatz: Also ich bin bislang noch bei: $\begin{eqnarray} (i) \Rightarrow (ii) \end{eqnarray}$ Laut tipp sollen wir das ganze als Abzählung von $\begin{eqnarray} \Omega=\left\{\omega_1,\omega_2,...\right\} \end{eqnarray}$ betrachten. Da: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to \infty} p_n(\omega) = p_0(\omega) \,\,\, \forall \omega \in \Omega \end{eqnarray}$ gilt müsste ja jedes $\begin{eqnarray} \omega\in \Omega \end{eqnarray}$ eine Grenzfunktion $\begin{eqnarray} p_0(\omega) \end{eqnarray}$ besitzen. Wenn dem so ist, dann hat doch auch jedes $\begin{eqnarray} A\subset \Omega \end{eqnarray}$ eine grenzfunktion, denn $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist doch nur eine Teilmenge von dem orbigen oder nicht? Ich weiss nur nicht so ganz wie ich das mathematisch Formulieren könnte. Wir wissen ja außerdem das: $\begin{eqnarray} 1\geq p(\omega)\geq 0 \end{eqnarray}$ da es sich ja um ein Zufallsexperiment handelt. Dann sollte die Grenzfunktion $\begin{eqnarray} p_0\leq 1 \end{eqnarray}$ oder? Es gilt ja auch: $\begin{eqnarray} \sum\limits_{\omega \in \Omega} p(\omega)=1 \end{eqnarray}$ Die Reihe konvergiert also absolut. Gilt dann nicht auch: $\begin{eqnarray} P(A)=\sum\limits_{\omega \in A} p(\omega)\leq \sum\limits_{\omega \in \Omega} p(\omega) \end{eqnarray}$ mh...okay ne ich glaube der Gedanke bringt mir nix, hat jemand vll einen kleinen Tipp, damit ich genau weiss wo ich ansetzen kann?
07.05.2014, 14:31	Eudoxos	Auf diesen Beitrag antworten »
Mh, keiner eine Idee?

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