Ketten eines Z-Moduls bestimmen

05.05.2014, 19:10

Kääsee

Ketten eines Z-Moduls bestimmen

Zitat:

Guten Abend,
ich habe folgende Aufgabe:
Wir betrachten den $\begin{eqnarray*} \mathbb Z \end{eqnarray*}$ -Modul $\begin{eqnarray*} M=\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Bestimmen Sie alle Ketten

$\begin{eqnarray*} 0=M_0\subsetneq M_1\subsetneq ...\subsetneq M_l=M \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} l=l_{\mathbb Z}(M) \end{eqnarray*}$ .

Berechnen Sie für jede Kette $\begin{eqnarray*} M_{i+1} / M_i \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} 0\leq i\leq l-1 \end{eqnarray*}$ . Was fällt Ihnen auf?

Zuerst einmal habe ich dann versucht, alle möglichen Untermoduln zu erstellen.
$\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ enthält ja die Elemente $\begin{eqnarray*} {\overline{0}, \overline{1}, \overline{2},\overline{3}...,\overline{29}} \end{eqnarray*}$
Und jetzt stelle ich mir Teilmengen davon zusammen, sodass diese Untermoduln sind:

1) $\begin{eqnarray*} {\overline{0}} \end{eqnarray*}$
2) $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$
3) alle "geraden" Klassen, d.h. $\begin{eqnarray*} \left\{\overline{0}, \overline{2}, \overline{4},...\overline{28}\right\} \end{eqnarray*}$ .
Gehe ich recht in der Annahme, dass dies $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ entspricht?
Dann wären meine weiteren Untermoduln:
4) $\begin{eqnarray*} 3\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$
5) $\begin{eqnarray*} 5\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$
6) $\begin{eqnarray*} 6\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$
7) $\begin{eqnarray*} 10\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$
8) $\begin{eqnarray*} 15\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig? Ich frage mich gerade, ob es denn noch mehr gibt. Denn ich habe ja nur jeweils Teiler von 30 benutzt, um durch die Vielfache Untermoduln zu erzeugen.
Wäre nicht auch
$\begin{eqnarray*} 4\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Untermoduln? Die Bedingungen sind ja eigentlich erfüllt...

Aber bleiben wir erst einmal bei meinen oben erwähnten Untermoduln.
Dann bekomme ich immer Ketten der Länge 3, richtig (also wenn ich versuche, maximale Länge zu bekommen)?

Also
$\begin{eqnarray*} {0}\subsetneq 15\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq 5\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0}\subsetneq 15\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq 3\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0}\subsetneq 10\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq 5\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0}\subsetneq 10\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq 2\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0}\subsetneq 6\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq 2\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {0}\subsetneq 6\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq 3\mathbb Z / 30\mathbb Z\subsetneq \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$

Ok soweit? Jedenfalls stehe ich jetzt vor dem Problem, wie ich $\begin{eqnarray*} M_{i+1} / M_i \end{eqnarray*}$ berechne.
Das wäre ja z.B. $\begin{eqnarray*} (\mathbb Z / 30\mathbb Z) / (2\mathbb Z / 30\mathbb Z)<br /> \end{eqnarray*}$
Also quasi eine Verschachtelung von Quotientenräumen? verwirrt

Außerdem habe ich noch als Tipp, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / \frac{m}{n}\mathbb Z \cong n\mathbb Z / m\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , wenn n ein Teiler von m ist.

Aber kann ich dann quasi $\begin{eqnarray*} 2\mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 15\mathbb Z \end{eqnarray*}$ gleichsetzen oder was soll mir das bringen?
Die Klassen von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 15\mathbb Z \end{eqnarray*}$ sind doch ganz andere als die von $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ , oder nicht?

Es ist in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 30\mathbb Z \end{eqnarray*}$ ja $\begin{eqnarray*} \overline{1}=\left\{...,-29,1,31,61,...\right\} \end{eqnarray*}$

und in $\begin{eqnarray*} \mathbb Z / 15\mathbb Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \overline{1}=\left\{...,-14,1,16,31,...\right\} \end{eqnarray*}$

Wie man merkt, bin ich sehr verwirrt und würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte^^

LG

05.05.2014, 19:28

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

die Untermoduln hast du alle richtig bestimmt, die sind in der Tat durch die Teiler parametrisiert. Das heißt den Untermodul, der von der Restklasse der $\begin{eqnarray*} 4 \end{eqnarray*}$ erzeugt wird, findest du schon irgendwo in deiner Liste.

Kurze Frage: Hast du schon ein Resultat zur Verfügung, das dir sagt, wie groß $\begin{eqnarray*} l_\mathbb{Z}(M) \end{eqnarray*}$ ist? Sonst müsstest du noch begründen, warum deine Ketten maximale Länge haben. Aber das ist ggf. nicht so schwer.

Nun zu diesen $\begin{eqnarray*} M_{i+1}/M_i \end{eqnarray*}$ . Der Tipp ist natürlich Gold wert. Klar liegen in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/15\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ganz andere Restklassen als in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ . Deswegen steht in dem Tipp ja auch $\begin{eqnarray*} \cong \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ . Es ist bloß nach einer abstrakten Beschreibung des Isomorphietyps von $\begin{eqnarray*} M_{i+1}/M_i \end{eqnarray*}$ gefragt, und man würde wohl $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/\frac{m}{n}\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ als eine einfachere Beschreibung als $\begin{eqnarray*} n\mathbb{Z}/m\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ansehen.

So weit so klar? Also was fällt beim Bilden all dieser Quotienten auf?

05.05.2014, 19:49

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von jester.

Kurze Frage: Hast du schon ein Resultat zur Verfügung, das dir sagt, wie groß $\begin{eqnarray*} l_\mathbb{Z}(M) \end{eqnarray*}$ ist? Sonst müsstest du noch begründen, warum deine Ketten maximale Länge haben. Aber das ist ggf. nicht so schwer.

Nee, das Resultat habe ich nicht vorliegen. Evtl, weil 30 in 3 Primfaktoren zerlegbar ist?

Zitat:

Also was fällt beim Bilden all dieser Quotienten auf?

Hmm, dazu müsste ich ja erst einmal wissen, wie man diese bildet!
Kannst du mir einen Tipp geben? Irgendwie ist mir das zu abstrakt :/

05.05.2014, 20:02

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, erstmal zu den Quotienten. Deine erste Reihe war
$\begin{eqnarray*} 0\subseteq 15\mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \subseteq 5\mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$
Der erste zu bildende Quotient wäre also $\begin{eqnarray*} (15\mathbb{Z}/30\mathbb{Z})/\{0\} \end{eqnarray*}$ . Den Nullmodul herauszufaktorisieren macht gar nichts, also haben wir $\begin{eqnarray*} (15\mathbb{Z}/30\mathbb{Z})/\{0\} \cong 15\mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , was nach dem Hinweis isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/\frac{30}{15}\mathbb{Z} = \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ist.
Dann der nächste Quotient: $\begin{eqnarray*} (5\mathbb{Z}/30\mathbb{Z}) / ( 15\mathbb{Z}/30\mathbb{Z} ) \cong (\mathbb{Z} / 6 \mathbb{Z} ) / ( \mathbb{Z} / 2 \mathbb{Z} ) \cong \mathbb{Z}/3 \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , wobei ich den Hinweis zweimal angewendet habe: im ersten Schritt in jeder Klammer einzeln und dann für das Gesamtergebnis. Der zweite Quotient ist also isomorph zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/3\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .
Der letzte Quotient ist (mit gleichem Argument wie im vorigen Schritt) zu $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/5\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ isomorph. Also, übersichtlich:
$\begin{eqnarray*} \underbrace{0\subseteq 15\mathbb{Z}}_{\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}}\underbrace{/30\mathbb{Z} \subseteq 5\mathbb{Z}/}_{\mathbb{Z}/3\mathbb{Z}} \underbrace{30\mathbb{Z} \subseteq \mathbb{Z}/30\mathbb{Z}}_{\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}} \end{eqnarray*}$

Probiere dies nun einfach mal an den anderen Reihen aus.

Warum sind die Reihen von maximaler Länge? Eine Kette $\begin{eqnarray*} ...M_i \subseteq M_{i+1} \subseteq ... \end{eqnarray*}$ können wir genau dann verlängern, wenn es einen Untermodul von $\begin{eqnarray*} M_{i+1} \end{eqnarray*}$ gibt, der $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ umfasst (d.h. er passt zwischen die beiden). Nach dem Homomorphiesatz (vielleicht heißt dieses Detail bei euch auch Korrespondenzsatz o.Ä.) sind Untermoduln von $\begin{eqnarray*} M_{i+1} \end{eqnarray*}$ , die $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ umfassen, in Bijektion mit den Untermoduln des Quotienten $\begin{eqnarray*} M_{i+1}/M_i \end{eqnarray*}$ . Nun waren in der ersten Reihe, die ich dir oben vorgerechnet habe, jedoch alle Quotienten von der Form $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/p\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ prim und man überlegt sich leicht (oder findet im Skript), dass diese $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ -Moduln allesamt einfach sind, d.h. nur die trivialen Untermoduln besitzen. Diese korrespondieren aber in der gerade angesprochenen Bijektion zu $\begin{eqnarray*} M_i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} M_{i+1} \end{eqnarray*}$ , womit es keinen Zwischenmodul mehr gibt, der die Kette noch verfeinern könnte.

Edit: Ja, diese Überlegung sollte zusammen mit dem Tipp aus der Aufgabenstellung den Zusammenhang zur Primfaktorzerlegung der 30 evident machen.

05.05.2014, 20:20

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, erst einmal vielen, vielen Dank für die ausführliche Erklärung! Ich wusste nicht, dass ich die Räume wirklich wie Quotienten behandeln kann, also dass sich bei dem zweimaligen Quotient das eine Z quasi "rauskürzt".

Zitat:

Original von jester.

Probiere dies nun einfach mal an den anderen Reihen aus.

Wenn ich das so mache, bekomme ich immer die 3 gleichen Quotientenräume heraus, nur in einer anderen Reihenfolge. Und das sind ja gerade die zur Primfaktorzerlegung von 30!

Vielen, vielen Dank! Könnt dich knutschen Mit Zunge

05.05.2014, 20:23

jester.

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es kommen immer dieselben einfachen Quotienten heraus (bis auf Reihenfolge). Im Prinzip haben wir hier gerade den Satz von Jordan-Hölder ausprobiert, der genau das aussagt. Man kann daher diese einfachen Quotienten in einem gewissen Sinne als die "Atome" (wenn man einen Vergleich zur Chemie machen möchte) des Moduls $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/30\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ ansehen.

05.05.2014, 20:26

Kääsee

Auf diesen Beitrag antworten »

Dankesehr! Einen schönen Abend noch Wink

Neue Frage »

Antworten »

Ketten eines Z-Moduls bestimmen

Verwandte Themen