Extremalprobleme - Berechnung der optimalen Verpackungsausmaße

Neue Frage »

Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremalprobleme - Berechnung der optimalen Verpackungsausmaße
Meine Frage:
Sehr geehrte Damen und Herren,
seit kurzem haben wir das Thema "Extremalprobleme" und nun wurde mir die Aufgabe gestellt, die optimalen Außenmaße einer Kaffeeverpackung auszurechnen, sodass die Oberfläche möglichst gering ist.
Die Aufgabe lege ich dem Beitrag als Anhang bei.

Ich weiß absolut nicht weiter, wie ich diese Aufgabe berechnen, geschweige denn vorbereinten soll.
Angefangen habe ich mit einer Skizze, aber das war es auch schon.


Ich bedanke mich im Voraus für die Antworten.



Meine Ideen:
Skizzierung, Zielfunktion? Hauptbedingung? Nebenbedingung?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Extremalprobleme - Berechnung der optimalen Verpackungsausmaße
Wir brauchen die Formeln für Oberfläche und Volumen eines Quaders.
Weiterhin sollte einmal aufgeschrieben werden, welche Angaben gegeben sind.

Fange einmal an, ich helfe dir gerne bis zur Lösung der Aufgabe.

smile

PS: Wir duzen uns hier im Board. Augenzwinkern
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, okay, danke für die Information und vor Allem für die Hilfe smile

Folgende Formeln:

V = a * b * c
O = 2(ab+bc+ac)

Folgende Daten:

Volumen = 1000cm³

c = 2b
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sehr schön. smile

Wir haben also 2 Gleichungen (V und O) und 2 Unbekannte (c drücken wir durch b aus).

Die Oberfläche soll minimal werden, die Oberflächengleichung ist also unsere Hauptbedingung (HB).
Die Volumengleichung ist unsere Nebenbedingung (NB), wir brauchen sie, um eine der beiden Variablen in der HB zu ersetzen, so dass in der HB nur noch eine Variable steht.

Die Volumengleichung können wir so schreiben:
1000 = a * b * c (bzw. mit dem Wissen, dass c = 2b )
1000 = a * b * 2b

Wie kann man sie sinnvoll zusammenfassen?
Ich schlage vor, dass wir sie nach a umstellen und dann das a in der HB ersetzen.

Stelle die NB mal nach a um.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Also:
Ich werde mal tun, was ich kann smile



HB = O=2(ab+bc+ac)

NB=

1000 = a*b*2b / -1000 /:a
a = b*2b - 1000



So richtig, oder denke ich da falsch?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
1000 = a*b*2b / -1000 /:a

Das würde ergeben: 0 = 2b² - 1000/a
Bringt uns nicht wirklich weiter. Augenzwinkern


Ich schreibe mal die richtige Rechnung auf:

1000 = a * b * 2b
1000 = a * 2b² | : 2b²

500/b² = a


Bevor das a nun in der HB ersetzt wird, würde ich die Klammer auflösen.

smile
 
 
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt, das hätte keinen Sinn ergeben.

Jetzt frage ich mich aber, welche Klammer gemeint ist.
Tut mir sehr leid, auf dem Gebiet bin ich schwer von Verstand.. unglücklich
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, sorry!
War noch in der NB.

HB : O = 2ab + 2bc + 2ac
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine diese hier: O = 2(ab + bc + ac)

Es ist besser, wenn in der HB keine Klammer steht, weil wir jetzt Summanden verändern und weil später noch abgeleitet wird.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay und anschließend wird der Wert für a in die HB eingesetzt?

Also 2(500/b²*b)+2(b+2b)+2(500/b²*2b) ?

Bin ich hier auf dem richtigen Pfad? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Sieht gut aus, bis auf eine Stelle, ich markiere sie pink:

2(500/b²*b)+2(b+2b)+2(500/b²*2b)

Jetzt sollten die einzelnen Summanden ein bisschen zusammengefasst werden.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

2(500/b²*b)+2(b*2b)+2(500/b²*2b) =

1000/b² * 2b + 2b * 4b + 1000/b² * 4b =

2000/b² + 10b

habe ich raus.

Kann natürlich sein, dass ich mich auf dem Holzweg befinde :/
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du hast nur einen Denkfehler.

Es ist gilt zwar nach dem Distributivgesetz: a*(b + c) = ab + ac
Aber wenn in der Klammer ein Produkt steht, dann wird nicht jeder Faktor mit dem Faktor vor der Klammer multipliziert. Genaugenommen braucht man keine Klammer: a*(b*c) = abc Augenzwinkern

Entspechend wird aus: 2(500/b²*b)+2(b*2b)+2(500/b²*2b)
Folgendes: 1000/b + 4b² + 2000/b

Kannst du das nachvollziehen?

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, okay.
Ja, ist einleuchtend. smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Gut. smile
Dann haben wir also als HB inzwischen:

O(b) = 1000/b + 4b² + 2000/b

Hier kannst du noch ein wenig zusammenfassen, dann geht es ans Ableiten. Kannst du es versuchen?

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei dem Bruch wird es kritisch..
Den zweiten Teil kann ich aber ableiten:

O(b) 3000/b + 4b²
O´(b) 3000/b + 8b
O´´(b) 3000/b + 8
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst den Bruch als Potenz schreiben:

Wird dann das Ableiten einfacher?


PS: Die 4b² sind richtig abgeleitet, der erste Summand wurde nicht abgeleitet.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

O'(b) = -3000b^-2+8b
O''(b) = 6000b^-3+8

So war es einfacher! smile
Danke für den Tipp!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Fein, nun stimmen die Ableitungen. Freude

Jetzt musst du die erste Ableitung Null setzen und kannst b ausrechnen.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir unendlich leid,
jedoch ist an der Stelle der nächste Stein für mich im Weg.
Vielleicht liegt es auch an der Uhrzeit und am Druck,
da die Aufgabe bis morgen fertig sein muss :/

Wie gehe ich an dieses 'Null setzen' am klügsten ran?

O'(b)= 3000*b^-1+4b²

Heißt das, dass ich alles nach dem Gleichhaltszeichen auf die linke Seite ziehen muss?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zunächst: Du hast da nicht die Ableitung in der Gleichung stehen.


Es ist so, dass wir den Extremwert suchen, und das heißt, dass an dieser Stelle die Steigung des Funktionsgraphen 0 ist.
Die Steigung wird durch die erste Ableitung ausgedrückt.
Wir schreiben also O'(b) = 0 und können setzen:

0 = -3000b^-2+8b | + 3000*b^-2

....

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Upps, habe da in der falschen Zeile gelesen.
Okay, dann sieht die Geschichte so aus:

3000^-2 = 8b / :8
375^-2 = b


Stimmt das so? smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Dir ist ein b abhanden gekommen:

3000·b^-2 = 8b | :8

375·b^-2 = b | · b²

Ich habe mal aufgeschrieben, wie es weiter geht, denn ich kann nicht mehr allzu lange hier im Board sein.
Die Lösung für b möchte ich aber gerne noch mit dir zusammen erarbeiten.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

Erst einmal möchte ich ein großes Dankeschön an dich ausrichten,
deine Beiträge haben mir bis hierhin schon sehr geholfen!
Außerdem bewundere ich deine Geduld mit mir! smile

Nun weiter zur Aufgabe:

375b^-2 = b /*b²

375 = b³

Wird nun eine Wurzel gezogen?
Bzw. ist die Berechnung überhaupt richtig?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, alles richtig. Freude
Du musst noch die dritte Wurzel ziehen, dann hast du das Ergebnis für b.

Vielleicht gehen c und a ja dann auch recht schnell.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

375 = b³ / 3(WURZEL)

7,21 = b

Dementsprechend ist c = 14,42


Das sollte richtig sein smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das Ergebnis stimmt. Freude

b = 7,21125 cm

Wie groß sind nun a und c?

Man sollte übrigens noch den Wert von b in die zweite Ableitung einsetzen und überprüfen, ob ein Min oder Max vorliegt.

smile
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

7,21 * 14,42 * a = 1000cm³

500/7,21² = 9,62

a= 9,62

7,21 * 14,42 * 9,62 = 1000.17cm³


Super!
Ist nun noch mehr zu berechnen, oder ist die Aufgabe nun durch?

Ich bedanke mich noch einmal ganz herzlich bei dir.
Jetzt muss ich aber auch zu Bette gehen,
geht wieder früh raus am Morgen.. Hammer

Ich wünsche eine angenehme Nacht und werde natürlich über den Verlauf berichten!
Wink
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das hier wäre noch zu tun:

Zitat:
Original von sulo
Man sollte übrigens noch den Wert von b in die zweite Ableitung einsetzen und überprüfen, ob ein Min oder Max vorliegt.


Manchmal wird aber in den Aufgaben auch drauf verzichtet.

Interessanterweise ist die Grundfläche übrigens kein Quadrat. Eigentlich würde man das erwarten. Augenzwinkern
Hängt wohl mit der Bedingung c = 2b zusammen.

Über eine Rückmeldung zur Aufgabe würde ich mich freuen.


Es war mir eine Freude, dir helfen zu können.
Ich wünsche dir auch eine gute Nacht. Wink
Weißnix91 Auf diesen Beitrag antworten »

So, sorry für die lange Wartezeit,

ich gebe nun mal eine Rückmeldung:

Meine Lehrerin war positiv von mir überrascht,
da Mathe auf diesem Gebiet eigentlich nicht zu meinen Stärken gehört. smile

Das Einzige, was noch fehlt,
ist die Berechnung der Extremstellen.
(War aber nicht Teil meiner Aufgabe, also alles gut) smile
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Es freut mich sehr, dass du in der Schule einen guten Eindruck machen konntest. smile

Und wenn du mal wieder eine Frage zu einer Aufgabe hast, du weißt ja, wo du uns findest. Augenzwinkern

Wink
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »