Erwartungswerte berechnen und Baum drehen

06.05.2014, 16:26

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Erwartungswerte berechnen und Baum drehen

Meine Frage:
Kann mir jemand bitte bei dieser Aufgabe helfen?? unglücklich

unglücklich

Ein Landwirt vertreibt die Äpfel in Gebinden von je 10 Äpfeln zu 6?.
Die Wahrscheinlichkeit eines Wurmbefalls liegt bei 10%.
Kauft jemand ein Gebinde mit mehr als einem wurmbefallenen Apfel, so erhält er den Kaufpreis zurück und einen Entschädigungsgutschein im Wert von 5?.

a) Bestimmen Sie die durchschnittlich zu erwartende Menge wurmbefallener Äpfel in einem Gebinde sowie die zu erwartende Streuung dieses Wertes.

b)Bestimmen Sie den durchschnittlich zu erwartenden Gewinn des Landwirts pro verkauftem Gebinde.

c)99% der Kunden ohne wurmbefallenem Apfel kaufen das Gebinde beim nächsten Einkauf erneut. Bei denen mit feststellbarem Wurmbefall immerhin noch 40%, da sie mit der Entschädigungsregel zufrieden sind. Jemand hat erneut ein Gebinde gekauft. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war das vorher gekaufte Gebinde wurmbefallen?

Meine Ideen:
Ich habe bei der a) eine Tabelle gemacht.. Aber ich weiß nicht, ob man da mit Kombinatorik oder mit der Bernoullikette arbeiten muss:/
b) und c) kann ich gar nicht unglücklich

unglücklich

06.05.2014, 16:46

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Hilft hier denn wirklich niemand?

06.05.2014, 17:03

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist die Aufgabe so schwEer?

06.05.2014, 17:13

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ein bisschen mehr Geduld, bitte. Danke. smile

smile

Ich würde es mit der Bernoulli-Kette, sprich mit der Binomialverteilung, versuchen:

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

Grüße.

06.05.2014, 17:15

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Also hier habe ich mal was probiert:
Z.b. wenn kein Apfel wurmbefallen ist
(10 über 0)* 0,1* (10 über 10)

06.05.2014, 17:29

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeit, dass kein Apfel befallen ist, ist wenn X=0 ist. Bei n=10 einfach in die Formel einsetzen:

$\begin{eqnarray*} P(X=0)=\begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix} \cdot \left( \frac{1}{10} \right)^0 \cdot \left(1- \frac{1}{10} \right) ^{10-0}=1 \cdot 1 \cdot \left(1- \frac{1}{10} \right) ^{10-0} \end{eqnarray*}$

Jedoch muss man bei der a) den Erwartungswert angeben. Dazu musst du nur wissen, was allgemein der Erwartungswert der Binomialverteilung ist. Eine Idee ?

Anzeige

06.05.2014, 17:33

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist die kettenlänge* die relative häufigkeit??

06.05.2014, 17:35

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

smile

Also ?

06.05.2014, 17:40

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

also 10*0,34= 3,4

06.05.2014, 17:44

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Nicht ganz.

p ist 0,1. Somit ist der Erwartungswert, E(x), gleich 10 * 0,1=1.

Woher kam denn die 0,34 ?

Wie sieht es denn jetzt mit der zu erwartenden Streuung, der Standardabweichung, aus ?

06.05.2014, 17:49

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

die 0,34 kam von der oberen rechnung und warum ist der Erwartungswert 1? Das geht doch gar nicht oder, es müssen doch auch Äpfel mit nicht befallenen dazu gezählt werden??
Um die Streuung auszurechnen braucht man die Varianz

06.05.2014, 17:51

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

es geht ja um den Durchschnitt und da muss doch jede wskeit rein

06.05.2014, 18:08

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von mathlooser95
die 0,34 kam von der oberen rechnung und warum ist der Erwartungswert 1? Das geht doch gar nicht oder, es müssen doch auch Äpfel mit nicht befallenen dazu gezählt werden??

Nur X=0 zu betrachten reicht nicht. Es müssen alle Ausprägungen von X betrachtet werden und die dazugehörigen Wahrscheinlichkeiten. Im Prinzip multipliziert man für alle möglichen Werte von X=k mit der entsprechenden Wahrscheinlichkeit und summiert dann alles auf.

Bei Wiki ist das hier nochmal dargestellt. Du brauchst das aber nicht herzuleiten, sondern nur den Erwartungswert angeben. Dieser ist E(x)=n*p.

Zitat:

Original von mathlooser95
Um die Streuung auszurechnen braucht man die Varianz

Die Formel für die Varianz ist in dem Link (genauer: hier) auch angegeben. Da musst du dann nur noch die Wurzel ziehen.

06.05.2014, 18:11

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm okay

smile

Dann habe ich für die Varianz 0,9 und für die Streuung 0,95

06.05.2014, 18:18

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Freude

Edit: Wir sind jetzt schon bei der b).

Welche Wahrscheinlichkeit muss man denn jetzt hier berechnen ?

Zitat:

Kauft jemand ein Gebinde mit mehr als einem wurmbefallenen Apfel, ...

06.05.2014, 18:24

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

die wskeit, dass keine Äpfel befallen sind und dann di mit der 6 multiplizierne

06.05.2014, 18:34

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst auch noch die Wahrscheinlichkeit berücksichtigen, dass 1 Apfel befallen ist. Denn hier wird auch nicht zurückerstattet.

Gewinn, wenn nicht rückerstattet wird: $\begin{eqnarray*} \left( P(X=0)+P(X=1) \right) \cdot 6 \end{eqnarray*}$

06.05.2014, 18:36

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja aber was ist mit den 5€ ?? Muss man die subtrahieren oder wie?

06.05.2014, 18:40

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist dann der zweite Teil der Rechnung. Der Gewinn ist dann nur 1€. 6€ eingenommen und 5€ rückerstattet. Das kann man dann über die Gegenwahrscheinlichkeit machen: $\begin{eqnarray*} P(X >1)=1-P(X\leq 1) \end{eqnarray*}$ Das ganze mit einem Euro multiplizieren.

06.05.2014, 18:44

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Das verstehe ich grad nicht unglücklich

unglücklich

Kannst du mir das ausführlicher erklären??

06.05.2014, 18:54

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn kein oder ein Apfel faul ist, dann wird nichts zurückerstattet. Jetzt brauchen wir somit erst einmal die Wahrscheinlichkeit, dass entweder kein Apfel faul ist oder nur einer.
$\begin{eqnarray*} P(X\leq 1)=P(X=0)+P(X=1) \end{eqnarray*}$

Die Wahrscheinlichkeit dafür multipliziert mit 6 Euro ergibt den Ertrag, wenn entweder kein Apfel faul ist oder wenn nur ein Apfel faul ist.

Nun berechnet man die Wahrscheinlichkeit, dass mehr als 1 Apfel faul ist, da hier zurückerstattet werden soll/muss. Hier kann man die Gegenwahrscheinlichkeit verwenden.

$\begin{eqnarray*} P(X >1)=1-P(X\leq 1) \end{eqnarray*}$ . Und $\begin{eqnarray*} P(X\leq1) \end{eqnarray*}$ hast du dann schon berechnet. Das ganze wird dann mit den 1€ Ertrag multipliziert. Man gibt ja wieder 5€ zurück und hat vorher 6€ eingenommen.

Wenn noch etwas unverständlich ist bitte präziser nachfragen.

06.05.2014, 19:01

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Also in Zahlen ausgedrückt ist das dann so, oder?
(0,1)^1*0,1*(0,9)^1=9*10^-3??

06.05.2014, 19:08

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn jetzt berechnet ? P(X=1) ? Bitte dazuschreiben.

Es ist aber so oder so nicht richtig. Es fehlt der Binomialkoeffizient. Von Wahrscheinlichkeiten brauchst du auch nur 2.

06.05.2014, 19:11

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Das check ich jetzt wieder nicht unglücklich

unglücklich

( P(X=1)= 0,9^1

06.05.2014, 19:17

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Einfach einsetzen:

n=10, p=0.1, 1-p=0,9, k=1

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=1)=\begin{pmatrix} 10 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot 0,1^1 \cdot (0,9)^{9} \end{eqnarray*}$

06.05.2014, 19:20

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist dann P(X=0)= 0,1^0*0,9^10*(10 über 0)??

06.05.2014, 19:25

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Genau.

Freude

06.05.2014, 19:28

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Gut aber wenn ich das ausrechne komme ich auf 1,73:/

06.05.2014, 19:48

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} 0,1^0=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 10 \\ 0 \end{pmatrix}=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0,9^{10}\approx 0,3486 \end{eqnarray*}$

Nun alle Werte multiplizieren.

Ich bin jetzt ca. eine Stunde essen. Bin aber wahrscheinlich schon früher da.

06.05.2014, 19:50

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Was meinst du mit alle werte??

06.05.2014, 19:51

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meinte jetzt erst einmal die Werte die ich eben ausgerechnet habe. Das ist dann P(X=0).

08.05.2014, 18:14

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich kann die Aufgabe immer noch nicht lösen unglücklich

unglücklich

Kann mir bitte jemand helfen bitte bitte

08.05.2014, 18:48

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Hast du denn jetzt schon $\begin{eqnarray*} \left( P(X=0)+P(X=1) \right) \cdot 6 \end{eqnarray*}$ berechnet ?

08.05.2014, 18:55

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da kommt 4,44 raus.

08.05.2014, 19:03

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe fast das gleiche heraus, nämlich 4,42 (gerundet). Ich hoffe mal, dass es Rundungsfehler bei dir sind.

Jetzt musst du nur noch $\begin{eqnarray*} \left( 1-P(X \leq 1 \right) \cdot 1 \end{eqnarray*}$ berechnen.

08.05.2014, 19:05

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das sind dann 0,26. Aber was ist jetzt das Endergebnis?

08.05.2014, 19:10

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Dein Ergebnis ist richtig. Da der Käufer sein Kaufpreis zurückerhält und zusätzlich eine Entschädigung erhält ist die Rechnung letztendlich.

$\begin{eqnarray*} 4.42-\left( 1-P(X \leq 1) \right) \cdot 5 \end{eqnarray*}$

08.05.2014, 19:12

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay das hab ich jetzt verstanden. ABer wie geht die c)?

08.05.2014, 19:17

mathlooser95

Auf diesen Beitrag antworten »

aber moment mal..Bei der b) ergibt es dch 20,9 und das geht doch gar nicht. Er kann doch nicht20,9 € gewinnen ??

08.05.2014, 19:21

Kasen75

Auf diesen Beitrag antworten »

Es geht bei der c) um bedingte Wahrscheinlichkeiten.

Auf jeden Fall kann man erst einmal vier Ereignisse definieren, z.B. W=Ein Apfel von Wurm befallen.

Welche Ereignisse sind denn noch prinzipiell möglich ? Denk z.B. an das Gegenereignis zu W.

12 nächste Seite »

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »