Isomorphie von Gruppen - Satz von Lagrange

07.05.2014, 17:40

breezy

Isomorphie von Gruppen - Satz von Lagrange

Hallo =)

ich soll foglende Aufgabe bearbeiten:

Welche der folgenden Gruppen sind isomorph und welche nicht?

$\begin{eqnarray*} S_{3} D_{3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} (Z/2z) \end{eqnarray*}$ x $\begin{eqnarray*} (Z/3Z) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} Z/6Z \end{eqnarray*}$

Die ganze Aufgabe steht unter dem Titel "Satz von Lagrange".
Nun stellt sich mir bereits die erste Frage:
In wie fern kann mir der Satz von Lagrange denn helfen eine Aussage über Isomorphie zu machen, da er ja "nur" die Ordnung der Gruppe in Beziehung zur Ordnung der Untergruppe multipliziert mit dem Index setzt?
Bisher haben wir Isomorphie kennen gelernt einmal als bijektiver Homomorphismus und anderer seits, dass für einen Homomomorphismus phi der von G nach H geht ein Homomorphismus psi existiert, der von H nach G geht und es gilt: $\begin{eqnarray*} psi * phi = id_{G} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} phi * psi = id_{H} \end{eqnarray*}$

Habe das ganze mal durchgerechnet (siehe unten) und mir einige Gedanken gemacht. Da der Satz von Lagrange ja eigentlich selbst keine Aussage über Isomorphie macht habe ich mir den folgenden Satz ausgedacht und bewiesen (wenn auch nicht korrekt formal...):
Grundidee war hierbei, dass ich Elemente mit Ordnung n wiederum auf Elemente mit Ordnung n schicken muss, damit das ganze irgendwie klappt:

Satz:
Seien $\begin{eqnarray*} G_{1},G_{2} \end{eqnarray*}$ endliche Gruppen mit selber Ordnung. Gelte weiterhin $\begin{eqnarray*} \forall g \in G \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} ord(g)=n \exists h \in H \end{eqnarray*}$ sodass $\begin{eqnarray*} ord(g)=ord(h) \end{eqnarray*}$ und |{ $\begin{eqnarray*} g \in G | ord(g)=n \end{eqnarray*}$ }|=|{ $\begin{eqnarray*} h \in H | ord(h)=n \end{eqnarray*}$ }|
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow G \end{eqnarray*}$ ist isomorph zu H unter einem bestimmten, kontruierbaren $\begin{eqnarray*} \pi : G -> H \end{eqnarray*}$ bijektiv

Beweis

Aus den Bedingungen erhalten wir sofort, dass ein Homomorphismus existiert, da wir gleich viele Elemente in beiden Gruppen haben mit selber Ordnung, hieraus resultiert die Strukturerhaltung die ein Gruppenhomomorphismus benötigt.
Injektivität:
Da es in G und H nur ein Element gibt mit Ordnung 1, werden diese auf einander abgebildet, dies steht nicht im Wiederspruch zum Satz, da er nur impliziert, dass es eine Abbildung gibt, deren Konstruktion ist hier genauso gewählt, dass es passt
Surjektivität:
Da G und H gleiche Ordnung haben und für jedes Element g in G mit Ordnung n ein Element h in H mit selber Ordnung existiert, können wir die Abbildung so konstruieren, dass sie surjektiv ist.

Die Beweisführung ist nicht grade die Beste (eigentlich sogar unter aller Sau), aber unter den gegebenen Vorraussetzungen ist die Aussage ja eigentlich eh intuitiv klar?! Oder wie seht ihr das?
Kann man das ganze so angehen?

Ansonsten mein sonstiges Vorgehen:

Ich habe bereits folgendes gezeigt:
Für $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ gilt:
Die Ordnung der Gruppe ist 6 und es gibt 6 Untergruppen (die Elemente führe ich hier in der Zyklenschreibweise auf):
H1={id} [G : H1]=6
H2={G} [G : H2]=1
H3={id, (12)} [G : H3]=3
H4={id, (23)} [G : H4]=3
H5={id, (23)} [G : H5]=3
H6={id, (123), (132)} [G : H6]=2

(die einzelnen Indexe, hab ich jetzt nicht extra bestimmt sondern über den Satz von Lagrange berechnet)

Für $\begin{eqnarray*} D_{3} \end{eqnarray*}$ gilt:
Ordnung der Gruppe ist 6 und es gibt 6 Untergruppen (diese lassen sich eigentlich als Permutationen von S3 auffassen, die Isomorphie ist eigentlich klar)
Es gibt folgende Untergruppen; mit s(120) sei die Spiegelung an einer Geraden die im 120 Gradwinkel zur x-Achse steht gemeint ; mit d(120) sei die Drehung im Ursprung um 120 Grad gemeint.

H1={id}
H2={id, s(0), s(120), s(240), d(120), d(240)}
H3={id, s(0)}
H4={id, s(120)}
H5={id, s(240)}
H6={id, d(120), d(240)}

Die Indexe sind gleich mit denen der Untergruppen von S3

für die andern beiden Gruppen hab ich das auch gemacht und kriege raus, dass deren Untergruppen untereinander gleiche Ordnung haben, aber nicht mit denen von S3 bzw D3 übereinstimmen.

LG breezy

07.05.2014, 19:36

Captain Kirk

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Hallo,

der Satz von Lagrange ist sehr nützlich, hat allerdings mit der Isomorphie von Gruppen nicht viel zu tun.
Generell ist es keine gute Idee sich in den eigenen Gedanken von Überschriften einschränken zu lassen.

Deiner Einschätzung deines Beweises der Behauptung stimme ich zu. Deiner Intuition widerspreche ich: Die Behauptung ist falsch, z.B.
math.stackexchange.com/questions/62331/three-finite-groups-with-the-same-numbers-of-elements-of-each-order

Mach dir doch Mal Gedanken über die Aufgabe ohne den Satz von Lagrange.

07.05.2014, 23:46

breezy

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Zitat:

Deiner Einschätzung deines Beweises der Behauptung stimme ich zu

Was?

Der Einschätzung "nicht gerade die beste Beweisführung"/"unter aller Sau" stimmst du zu?^^

zurück zum eigentlichen Thema:

Frage 1:
Kann ich ein zusätzliches Kriterium verlangen, dass das ganze passt (gibts hierüber vllt irgendeinen Satz)?

Idee (ist mir grade durch den Kopf gegangen, werde ich wohl morgen mal ausprobieren ob mich das weiter bringt); (immernoch bzgl zusätzlichem Kriterium, das meinen Satz "korrigieren" würde):
Hab in Richtung Nebenklassen oder Indizes gedacht (vermutlich weil immernoch Lagrange drüber steht...); nur wäre dann die Frage bezüglich welcher Nebenklasse; es gibt ja en Haufen?
Kann ich eventuell sagen ich bilde bezüglich aller Untergruppen die Indizes und sage wenn die Anzahl der Indizes der Elemente von bzw. in das ich abbilden will miteinander übereinstimmen, dass es dann geht? Vllt etwas weniger verwirrend formuliert: ich bilde die Indizes von g in G für alle Nebenklassen; erhalte Beispielsweise: Index 1 gibts 1mal, Index 2 gibts 3mal, Index 3 gibts 5mal,...
das gleiche mache ich in H; und nun Bilde ich nur Elemente ab die die gleiche Anzahl an Indizes haben? Also g wird nur auf h abgebildet, wenn h auch 1mal index 1, 3mal index 2 und 5mal index 3,... hat (hoffe die Idee ist verständlicher geworden)
Bringt mich das irgendwie weiter?

Frage 2:
in welchem Punkt scheitern meine bisherigen Vorraussetzungen für den Isomorphismus?

08.05.2014, 00:28

Captain Kirk

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Zitat:

Kann ich ein zusätzliches Kriterium verlangen, dass das ganze passt

Für abelsche Gruppen gilt's zum Beispiel. Die Beh. ist dann aber auch ziemlich nutzlos, da der Haupstatz über endlich (erzeugt)e abelsche Gruppen mehr aussagt.

Zitat:

es gibt ja en Haufen?

Bitte wie?

Zitat:

Bringt mich das irgendwie weiter?

Nein.

Zitat:

in welchem Punkt scheitern meine bisherigen Vorraussetzungen für den Isomorphismus?

Schon vom Ansatz weg. Was du hier anschaust ist eine sog Invariante einer Gruppe
de.wikipedia.org/wiki/Invariante_%28Mathematik%29
die sind dazu da zu zeigen, dass zwei Objekte nicht gleich sind. Invarianten an denen man Gleichheit ablesen kann sind seltener, hier haben wir keine.

Zeige, dass die zwei Gruppen isomorph sind, indem du einen Iso konkret angibst

08.05.2014, 18:01

breezy

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Alles klar;
ich dachte, es geht vielleicht irgendwie schöner als dass ich es an einem expliziten Isomorphismus zeige...

also zum Beispiel für die ersten beiden Gruppen definiere ich mir den folgenden Isomorphismus:

$\begin{eqnarray*} \pi (id)=id \pi((13))=s(120) \pi((12))=s(240) \pi((23))=s(0) \pi((123))=d(120) \pi((132))=d(240) \end{eqnarray*}$

nun muss ich ja zeigen, dass das wirklich ein Isomorphismus ist:

Die Surjektivität und die Injektivität sieht man ja bereits an der Definition,
nur wie zeige ich dass es ein GHom ist?

Muss ich jetzt ernsthaft für alle Elemente g,h aus $\begin{eqnarray*} S_{3} \end{eqnarray*}$ zeigen, dass für diese gilt:
$\begin{eqnarray*} \pi(g*h)=\pi(g)*\pi(h) \end{eqnarray*}$ ?
Das wäre ja total beknackt... geht das irgendwie einfacher?

Lg breezy

08.05.2014, 19:19

breezy

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hatte grade noch eine Idee:

ist es ausreichend von beiden Gruppen die Verknüpfungstafeln aufzustellen und diese zu vergleichen bezüglich der "erfundenen"/ selbst gebastelten abbildung?
aus diesen müsste ich ja auch die Strukturerhaltung ablesen können

man kann ja einmal eine Tabelle machen mit der "real" vorliegenden Verknüpfungssituation in S_3 ; aus dieser dann die Verknüfungstabelle machen, die sich nach definierter Abbildung ergeben würde und diese wiederum mit der "realen" Verknüpfungssituation von D_3 vergleichen.

Wenn das alles passt wäre es ja ein Hom korrekt?

08.05.2014, 19:19

ollie3

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hallo,
wenn man sich ein bischen mit gruppentheorie auskennt, kann man das allles
viel eleganter begründen.
Also, S3 und D3 sind isomorph, denn D3 ={<s,d>|s^2=1 und d^3=1} und
man kann jedes element aus S3 auch durch die elemente (12) und (123)
erzeugen, und es ist ja (12)^2=id und (123)^3=id, und schon haben wir
die gewünschten übereinstimmungen.
Und bei Z/6Z und Z/2Z x Z/3Z liegt auch isomorphie vor, weil beide gruppen
zyklisch sind. Die Begründung dazu kannst du dir selbst überlegen...
gruss ollie3

08.05.2014, 20:25

breezy

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hey danke dir smile

genauso eine aussage hab ich gesucht Big Laugh

wie sieht das mit der Allgemeinheit bei der Aussage aus? Sprich gilt dies immer:

Seien G und H zwei endliche Gruppen mit selber Ordnung. Wenn gilt, dass G und H sich beide durch n Elemente erzeugen lassen und dass jeweils paarweise eines dieser erzeugenden Element aus G die gleiche Ordnung hat wie ein erzeugendes Element aus H dann sind die beiden Gruppen isomorph.

Vielen lieben Dank, für eure Mühen, das hat mich alles sehr viel weiter gebracht =)))

lg breezy

08.05.2014, 21:35

Captain Kirk

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Zitat:

D3 ={<s,d>|s^2=1 und d^3=1}

Ist falsch. Mit der rechten Menge ist überhaupt nichts eindeutig definiert, da völlig unklar ist was sd und ds sind. Auch die zyklische Gruppe der Ordnung 6 erfüllt diese Relationen.

Es ist $\begin{eqnarray*} D_n=<s,d|s^2=d^n=1, sds=d^{-1}> \end{eqnarray*}$

Zitat:

Seien G und H zwei endliche Gruppen mit selber Ordnung. Wenn gilt, dass G und H sich beide durch n Elemente erzeugen lassen und dass jeweils paarweise eines dieser erzeugenden Element aus G die gleiche Ordnung hat wie ein erzeugendes Element aus H dann sind die beiden Gruppen isomorph.

Nein. Denn dann wären $\begin{eqnarray*} \mathbb Z_2 \times \mathbb Z_3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} S_3 \end{eqnarray*}$ isomorph mit den Erzeugern (1,0) und (0,1) bzw. (12) und (123).
Weitere Anmerkungen:
Verknüpfungstafeln sind für Beweise so gut wie nutzlos.
Einen Isomorphismus (explizit) angeben ist schön: Damit ergibt sich in aller Regel ein kurzer Beweis bei dem auch deutlich wird auf welche Weise die zwei Objekte gleich sind.

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