Natürlicher Logarithmus

08.05.2014, 20:23

Kreis

Natürlicher Logarithmus

Zitat Aufgabenblatt:

"Der Logaritmus naturalis $\begin{eqnarray*} ln : \mathbb{R+} \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist per definitionem die Umkehrfunktion der Expònentialfunktion $\begin{eqnarray*} exp : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R+} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x \longrightarrow e^x \end{eqnarray*}$ .

(...) (Aufgabenabschnitte a-d)

e) Zeigen Sie, dass (für $\begin{eqnarray*} \left| x \right| >1 \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} ln(1-x) = - \frac{x^1}{1} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ......... \end{eqnarray*}$

f) Entscheiden Sie, ob die Rheie $\begin{eqnarray*} 1 +\frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4}+ \frac{1}{5} + ... \end{eqnarray*}$ divergiert oder nicht. ( (Tip e) ! )."

Zitat Ende:

Meine Idee:

e) Ich vermute es läuft darauf aus, dass ich Taylor entwickel, nicht wahr? Tanzen

f) Ich habe erstmals versucht $\begin{eqnarray*} 1/x \end{eqnarray*}$ von 1 bis unendlich unbestimmt zu integrieren und gemerkt, dass das nicht funktioniert, also bin ich stark davon überzeugt dass es divergieren muss. Aber mich irritiert dieser "Tip".. verwirrt

08.05.2014, 20:45

bijektion

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Zitat:

Zeigen Sie, dass (für $\begin{eqnarray*} \left| x \right| >1 \end{eqnarray*}$ )

Sicher, das $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ gelten soll?

Zitat:

Ich vermute es läuft darauf aus, dass ich Taylor entwickel, nicht wahr?

Ich zitiere nur mal:

Zitat:

"Der Logaritmus naturalis $\begin{eqnarray*} ln : \mathbb{R+} \longrightarrow \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist per definitionem die Umkehrfunktion der Expònentialfunktion $\begin{eqnarray*} exp : \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R+} \end{eqnarray*}$ ; $\begin{eqnarray*} x \longrightarrow e^x \end{eqnarray*}$ .

Was ist denn die Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ ? smile

Zitat:

Ich habe erstmals versucht $\begin{eqnarray*} 1/x \end{eqnarray*}$ von 1 bis unendlich unbestimmt zu integrieren und gemerkt, dass das nicht funktioniert, also bin ich stark davon überzeugt dass es divergieren muss.

Das ginge, dürft ihr denn schon integrieren? Es geht doch um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ?

08.05.2014, 20:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von Kreis
e) Zeigen Sie, dass (für $\begin{eqnarray*} {\color{red}\left| x \right| >1} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} ln(1-x) = - \frac{x^1}{1} - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} - ......... \end{eqnarray*}$

Da sollte $\begin{eqnarray*} {\color{red}\left| x \right| <1} \end{eqnarray*}$ stehen!

EDIT: Uups, bin weg. Augenzwinkern

08.05.2014, 21:01

Kreis

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Zitat:

Original von HAL 9000

Da sollte $\begin{eqnarray*} {\color{red}\left| x \right| <1} \end{eqnarray*}$ stehen!

Zitat:

Original von bijektion

Sicher, das $\begin{eqnarray*} |x|>1 \end{eqnarray*}$ gelten soll?

Upps. Tut mir leid. Tipfehler... Forum Kloppe

Natürlich hat HAL 900O vollkommen recht.

Zitat:

Original von bijektion

Was ist denn die Reihenentwicklung von $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$ ? smile

mmm, so auf die schnell würde ich sagen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \frac{exp(x_0)}{n!} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bijektion

Das ginge, dürft ihr denn schon integrieren? Es geht doch um $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ ?

Noch ein Fehler. Ich meinte "eigentlich" das "uneigentliche Integral". LOL Hammer

Und ich hatte mir das wohl doch falsch gedacht, da ich jetzt gemerkt habe, dass ich mir nur alle n Element der Natürlichen Zahlen anschaue und nicht Element der Reellen, deshalb ist das mit dem Integral sowieso falsch... unglücklich

Pufff.. wir dürfen alles (Physiker).

08.05.2014, 21:09

bijektion

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Zitat:

mmm, so auf die schnell würde ich sagen: $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{n=1}^N \frac{exp(x_0)}{n!} \end{eqnarray*}$

Nein, es ist $\begin{eqnarray*} \exp x = \sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \end{eqnarray*}$ .

Ich denke du meinst die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{k} \end{eqnarray*}$ . Du kannst mit dem Integral $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ auf die Konvergenz der Reihe Rückschlüsse führen, da $\begin{eqnarray*} f:[1,\infty ) \to \mathbb{R}^+ ,x \mapsto \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ monoton fallend ist, das ist das Integralkriterium.
Hast du schon überprüft ob $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ existiert?

08.05.2014, 21:17

Kreis

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Zitat:

Original von bijektion

Hast du schon überprüft ob $\begin{eqnarray*} \int_1^{\infty} \! \frac{1}{x} \, dx \end{eqnarray*}$ existiert?

Mir wurde wortwörtlich " " verboten " " xDD Grenzwete zu bilden mit Epsilon und so... deshalb.

08.05.2014, 21:20

bijektion

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Was soll das denn bedeuten? Big Laugh

08.05.2014, 21:27

Kreis

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Das heißt, dass mir des öfteren schon geraten wurde, dass ich nicht " " "so komplieziert" " " denken solle, xDDD bzw. wir hatten in dieser Vorlesung noch nicht Grenzwerte definiert, man muss doch einen Grenzwert bilden um die Existenz des besagte Integral zu zeigen, oder? verwirrt

08.05.2014, 21:39

bijektion

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Zitat:

wir hatten in dieser Vorlesung noch nicht Grenzwerte definiert

Zitat:

Pufff.. wir dürfen alles (Physiker).

Das ist jetzt etwas widersprüchlich...

Du kannst die Divergenz der Reihe natürlich auch anders zeigen, da gibt es viele Möglichkeiten, wenn du es einfach haben willst, würde ich dir raten das Cauchy- Verdichtungskriterium anzuwenden.

08.05.2014, 21:49

Kreis

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Zitat:

Original von bijektion

Das ist jetzt etwas widersprüchlich...

.

Das stimmt! Das könnte ich selber mal anmerken... Big Laugh

Zitat:

Original von bijektion

Du kanns die Divergenz der Reihe natürlich auch anders zeigen, da gibt es viele Möglichkeiten, wenn du es einfach haben willst, würde ich dir raten das Cauchy- Verdichtungskriterium anzuwenden.

.

Das Cauchy-Verdichtungskriterium kenne ich leider nicht, scheint aber nachdem ich Wikipedia bemüht habe, sehr sinnvoll zu sein.
Kann ich nicht einfach" integrieren" und dann auf dem Blatt bemerken, dass die Stammfunktion von 1/x (also der ln(x) ) evaluiert zwischen 1 und unendlich, keinen "Sinn" macht, da ich es in diesem Fall für offensichtlich halte, dass das divergieren muss?

08.05.2014, 21:52

bijektion

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Zeige einfach, dass das Integral nicht existiert. Bei der Grenzwertbildung würde ich mich einfach mal auf eine andere Veranstaltung berufen Freude