zyklische Gruppe, maximale Untergruppe

08.05.2014, 21:15

Castello

zyklische Gruppe, maximale Untergruppe

Hallo, kann mir jemand helfen?
Ich komme mit der folgenden Aufgabe absolut nicht klar. Generell ist das Thema neu für mich und schwer verständlich.

Aufgabe:

Sei $\begin{eqnarray*} G=\langle a \rangle \end{eqnarray*}$ endliche, zyklische Gruppe mit $\begin{eqnarray*} a \in G \end{eqnarray*}$ und sei $\begin{eqnarray*} n=|G|=(a) \end{eqnarray*}$ . Zeigen Sie, dass dann gilt:
Eine Untergruppe $\begin{eqnarray*} U \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist genau dann maximal, wenn $\begin{eqnarray*} U=\langle a^p \rangle \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ ein Primteiler von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ ist.

Ich vermute, dass die Aufgabe etwas mit diesem Satz zu tun hat:

Sei $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ . Dann hat $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ für jeden positiven Teiler $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ eine eindeutige (zyklische) Untergruppe der Ordnung $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Sonst hat $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ keine Untergruppen.

Als Ansatz kann ich lediglich liefern:

" $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ "
$\begin{eqnarray*} |G|=n \geq 2 \end{eqnarray*}$ , da sonst G keine maximale Untergruppe U besitzen kann.
Dann existiert Zerlegung von n in Primzahlen. Sei also $\begin{eqnarray*} n=p\cdot q\cdot ... \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} p,q,... \end{eqnarray*}$ Primzahlen.

Ich finde nun keinen Draht zu dieser Aufgabe und wäre über Hilfe dankbar.

MfG

09.05.2014, 03:31

RavenOnJ

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RE: zyklische Gruppe, maximale Untergruppe
Alle echten Untergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ werden durch ein Element $\begin{eqnarray*} a^d \end{eqnarray*}$ erzeugt, wobei d nichttrivialer Teiler von n sein muss. Wenn d nicht prim ist, also $\begin{eqnarray*} d = km, k,m\not= 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \langle a^d\rangle < \langle a^k\rangle \not= G \end{eqnarray*}$ , also nicht maximal.

09.05.2014, 15:38

Castello

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RE: zyklische Gruppe, maximale Untergruppe
Hallo RavenOnJ und danke für Deine Antwort!

Da mir das Thema schwer fällt, muss ich noch nachhaken.

Wir wollen also " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " zeigen.

Sei also G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n.

Zitat:

Alle echten Untergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ werden durch ein Element $\begin{eqnarray*} a^d \end{eqnarray*}$ erzeugt

Dies gilt da Untergruppen von zyklischen Gruppen wieder zyklisch sind und nach dem von mir genannten Satz. d darf hierbei nicht n sein, da sonst die ganze Gruppe erzeugt wird. Wieso darf d nicht 1 sein?

Zitat:

Wenn d nicht prim ist, also $\begin{eqnarray*} d = km, k,m\not= 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \langle a^d\rangle < \langle a^k\rangle \not= G \end{eqnarray*}$ , also nicht maximal.

Wenn d nicht prim ist, dann können wir d in Primfaktoren zerlegen, also $\begin{eqnarray*} d=km \end{eqnarray*}$ . Wieso gilt nun aber $\begin{eqnarray*} \langle a^d\rangle < \langle a^k\rangle \not= G \end{eqnarray*}$ ? Wenn d=km, dann ist ja d>k. Müsste dann nicht die von $\begin{eqnarray*} a^d \end{eqnarray*}$ erzeugte Gruppe größer sein als die von $\begin{eqnarray*} a^k \end{eqnarray*}$ ?

MfG

09.05.2014, 18:19

RavenOnJ

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RE: zyklische Gruppe, maximale Untergruppe

Zitat:

Original von Castello
Wir wollen also " $\begin{eqnarray*} \Rightarrow \end{eqnarray*}$ " zeigen.

Sei also G eine endliche zyklische Gruppe der Ordnung n.

Zitat:

Alle echten Untergruppen von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ werden durch ein Element $\begin{eqnarray*} a^d \end{eqnarray*}$ erzeugt

Ich schrieb absichtlich echte Untergruppe. Wenn d=1, dann wäre die erzeugte Untergruppe wieder ganz G. d darf auch nicht n sein, aber aus einem anderen als dem von dir angegebenen Grund. Wenn d=n, dann wäre die erzeugte Untergruppe die triviale UG 1, da $\begin{eqnarray*} a^n=1 \end{eqnarray*}$ . Die letzte Beziehung gilt übrigens für alle endlichen Gruppen, da die von einem Element erzeugte zyklische Untergruppe als Ordnung immer einen Teiler von n haben muss. Ist also für ein Element $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ einer Gruppe $\begin{eqnarray*} b^k = 1 \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ die kleinstmögliche Lösung dieser Gleichung ist, dann muss gelten $\begin{eqnarray*} k\mid n \end{eqnarray*}$ , somit also $\begin{eqnarray*} b^n = 1 \end{eqnarray*}$ , und zwar für alle Elemente der Gruppe.

Zitat:

Wenn d nicht prim ist, also $\begin{eqnarray*} d = km, k,m\not= 1 \end{eqnarray*}$ , dann ist $\begin{eqnarray*} \langle a^d\rangle < \langle a^k\rangle \not= G \end{eqnarray*}$ , also nicht maximal.

Das rote "Prim" kannst du weglassen, es reicht die Möglichkeit der Zerlegung in Faktoren, die nicht unbedingt prim sein müssen.

Gerade weil d=km > k gilt, ist die von $\begin{eqnarray*} a^k \end{eqnarray*}$ erzeugte UG größer als die von $\begin{eqnarray*} a^d \end{eqnarray*}$ erzeugte, da $\begin{eqnarray*} a^d = a^{km}=(a^k)^m \end{eqnarray*}$ , d.h. die UG $\begin{eqnarray*} \langle a^d\rangle \end{eqnarray*}$ ist in $\begin{eqnarray*} \langle a^k\rangle \end{eqnarray*}$ als UG enthalten.

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