Unbestimmtes Integrieren durch mehrfache Substitution

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Student_13 Auf diesen Beitrag antworten »
Unbestimmtes Integrieren durch mehrfache Substitution
Meine Frage:
Hallo,
ich stehe derzeit etwas auf dem Schlauch: Ich bekomme einfach kein unbestimmtes Integral zu der Funktion zustande.
Auch der Taschenrechner (Classpad) bringt kein Ergebnis und ich habe folglich keine Zielrichtung.

Meine Ideen:
Ich schätze man muss mehrfach substituieren (zuerst vielleicht , dann darin wieder und das steht dann in der Integraltafel), aber das gelingt mir auch nicht so recht.
Ist die Idee richtig? Mir fehlt bei der Substitution echt noch der Überblick...
bijektion Auf diesen Beitrag antworten »

Du könntest das unter die Wurzel ziehen und dann eine PBZ machen.
Student_13 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für deine Antwort.
Ich dachte eine Partialbruchzerlegung kann man nur machen wenn Polynome (im Zähler und Nenner) vorliegen... Oder kann man aus der Wurzel irgendwie ein Polynom machen?
Student_13 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt bin ich aber echt überrascht.
Mein Professor hat uns als Elektrotechnikern eine Übungsaufgabe gegeben die nicht einmal in einem Forum in dem es Mathestudenten gibt gelöst werden kann?!
LC94 Auf diesen Beitrag antworten »

Versuchs mit dem Ansatz, der hier gepostet wurde. Wenn sich dabei konkrete Fragen ergeben, stelle sie.

LG
Student_13 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, dann schreib ichs nieder (leider kann ich noch nicht sehr konkret werden):
1. x unter die Wurzel ziehen:
2. (ich geh jetzt mal davon aus das ein Polynom ist, da hierzu keine weitere Äußerung kam) Ansatz der Partialbruchzerlegung: =
3. Koeffizientenvergleich... ich weiß nicht wie ich den jetzt durchführen soll, da ich nicht weiß wie ich als Polynom darstellen kann.

Konkrete Frage: Wie stelle ich als Polynom dar (wenns denn geht)?!
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor man an PBZ o.ä. gehen kann, muss der Integrand erstmal in gebrochen rationaler Form vorliegen - oder kurz gesagt: Die Wurzeln müssen weg!

Und da hast du ja schon den richtigen Riecher bewiesen

Zitat:
Original von Student_13
Ich schätze man muss mehrfach substituieren (zuerst vielleicht

du musst es nur einfach tun!

Als "Anschub": bedeutet , und weiter dann nach umgestellt

.
Student_13 Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Bemühungen!
Aber ich fürchte die stoßen bei mir gerade noch auf Unverständnis :/
Ich verstehe z.B. nicht was es nun bringt nach x umzustellen...

Ich Schreib vielleicht mal auf was ich gerade so versucht habe, in der Hoffnung ihr könnt daran sehen wo mein Hirn einen Verdreher hat:

Aufgabe: unbestimmtes integrieren von
Substitution:









Und wenn ich mir das jetzt graphisch neben der Funktion angucke gibts da kaum mehr einen Zusammenhang...
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student_13
Ich verstehe z.B. nicht was es nun bringt nach x umzustellen...

Am Ende der Substitution sollten nur noch und im Integral stehen - also KEIN und auch KEIN mehr. Und was gleich gar nicht geht ist, die -Terme als vermeintlich konstant aus dem -Integral herausziehen - denn sie sind nicht konstant, es besteht ja gerade die über die Substitutionsvorschrift bestehende funktionale Abhängigkeit zwischen beiden!!!

Ziemlich seltsam, dass derartige Grundregeln der Substitution ständig derart verletzt werden, und das im Hochschulforum. unglücklich

----------------------------

Von dieser anscheinend notwendigen Predigt mal abgesehen: Diese Ableitung

Zitat:
Original von Student_13
Substitution:

ist auch falsch - ich sage nur: Kettenregel!
Student_13 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmal: Vielen Dank für deine Hilfe - so langsam hab ich das Gefühl ich gehe in die richtige Richtung. Ich bin jetzt auch erstmals an eine Stelle gekommen wo sich eine Partialbruchzerlegung anbietet.
Ich schreib mal auf was ich so gemacht habe (leider Stimmt mein Ergebnis noch nicht mit den Ergebnissen der Numerischen Integration das Taschenrechners überein...):









Polynomdivision:

Partialbruchzerlegung im 2. Integral:

... Ich erspare euch die Details hier mal (ich denke hier mache ich keine Fehler mehr) ...



Das ganze jetzt per Vorschrift aus der Formelsammlung (Papula) integriert und u rücksubstituiert komm ich bei folgendem Monster an:



Wie gesagt kann das Laut Taschenrechner noch nicht die richtige Lösung sein, aber ein Gewisser Zusammenhang zwischen dieser Funktion und der zu Integrierenden Funktion scheint zu existieren (wenn ichs mir graphisch ansehe - leider kann ich sie hier nicht plotten, da der Funktionsplotter den arctan() scheinbar nicht kennt).
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student_13

Das ging jetzt etwas schnell: Wie kommst du auf dieses Integral? Ich hab da was ganz anderes.
Student_14 Auf diesen Beitrag antworten »

Also nach der Substitution hab ich ja .

dann setze ich das ein und bekomme

das forme ich um in .

Im Zähler mit dem u multipliziert komme ich auf .

Ups.. Hier hab ich statt dem u ne 1 geschrieben, aber ich mit mit weitergerechnet, von daher sollte alles in Ordnung sein

ANMERKUNG zum letzten Post: Am Ende fehlt noch ein
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Anscheinend hast du schnurstracks gesetzt. Finger1

ergibt differenziert .
Student_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Ach Mist.
Ok ich werd's nochmal mit dem richtigen dx durchrechnen - ich meld' mich dann heute Abend wieder böse

Tausend Dank nochmal dass du dir soviel Zeit nimmst um mir zu helfen! Freude
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, aber bevor du dich an einer PBZ sechsten (!) Grades abnutzt: Dem aufgestellten -Integral sieht man an, dass eine sofortige weitere Substitution den PBZ-Grad auf den erträglichen Wert 3 herabsenkt.


In dem Sinne hätte man auch gleich von vornherein



substituieren können, aber wie so oft ist man erst hinterher schlauer. Augenzwinkern
Student_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich jetzt wieder lange an was falschem herumrechne: Wieso willst du substituieren und nicht ?

Ich komme nämlich bei nach dem Ausmultiplizieren auf .
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zu wenig gekürzt, zu viel multipliziert, und vielleicht auch wieder "vergessen", dass ja zur Folge hätte, was den Nutzen dieser Substitution voll zerstört...



Zurück zur obigen Substitution:



Jetzt könnte man theoretisch schon eine PBZ ansetzen, allerdings ist Grad 6 etwas heftig. Glücklicherweise kann man das ganze mit einer weiteren Substitution , d.h. dann , noch zu Grad 3 reduzieren:

.
Student_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Es tut mir Leid um deine Bemühungen, aber ich fürchte ich muss jetzt meinen Kopf in den Sand stecken.
Weil ich nichtmehr durchblicke hab ich versucht per PBZ direkt zu integrieren. Das hatte ich dann nach geraumer Zeit auch geschafft (ob richtig oder nicht weiß ich jetzt auch nicht - vielleicht hab ich irgendwo ausversehen einen kleinen Schreibfehler drin der alles kaputt gemacht hat)

Das Ergebnis stimmt laut Taschenrechner aber immer noch nicht mit der korrekten Lösung überein.

Sry!! unglücklich
Ich werd' vielleicht nochmal die Studenten löchern die bei uns Nachhilfe geben und hier posten wenn ich meine es geschnallt zu haben, aber vielleicht lass ich's auch.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Student_15

Ok, wenn du ein in umwandelst, und noch den Faktor auf den Gesamtterm anwendest, dann kommt es hin.
Student_15 Auf diesen Beitrag antworten »

Wow, ja das eine ist sogar auf meinem Schmierzettel ein ...

Ist ja der Wahnsinn ich hatte mich eigentlich schon gänzlich von der Idee verabschiedet dass ich auf ne Lösung komme. Jetz muss ich bloß noch herausfinden wo der Faktor 0.5 herkommt und nochmal verstehen was "ich" hier so alles getan hab.

Riesen Dank für deine Ausdauer!
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