Differentialrechnung

10.05.2014, 14:56

Silas.H

Differentialrechnung

Hallo zusammen, ich fange mal mit der ersten Frage an:

Ich lerne auf frustfrei lernen.de, begreife es jedoch nicht. Kann mir jemand die Faktor-, Potenz-, und Summenregel idiotensicher erklären?

http://www.frustfrei-lernen.de/mathemati...mathematik.html

10.05.2014, 21:17

LC94

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Hi,
kannst du etwas genauer sagen, was du nicht verstehst? Wie würdest du vorgehen, wenn du z.B. die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=3x^{2} + 6x \end{eqnarray*}$ ableiten sollst?

LG

09.06.2014, 20:53

Silas.H

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Danke für die Antwort, mittlerweile glaube ich das grundlegende verstanden zu haben. Momentan bin ich dabei, die Produktregel und die Quotientenregel zu lernen, jedoch habe ich bei einem Beispiel Mühe, bzw. verstehe ich die Ableitung gar nicht:

$\begin{eqnarray*} y = arctan(x)\times ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = arctan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = u' \times v + v' \times u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{1 + x^{2}} \times ln(x) + \frac{1}{x} \times arctan(x) \end{eqnarray*}$

Könnte jemand mit mir die Aufgabe Schritt für Schritt durchgehen?

PS: Bei deinem Beispiel würde ich gliedweise mit der Faktor- und Summenregel differenzieren, nämlich:

$\begin{eqnarray*} f'(x) = 6x + 6 \end{eqnarray*}$

10.06.2014, 11:44

mYthos

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@Silas
Meinst du nicht, dass es ein wenig spät ist, erst nach 1 Monat zu antworten?

Die Ableitung nach der Produktregel ist richtig, auch
f '(x) = 6x + 6 stimmt

Bitte verwende für das Multiplikationszeichen NICHT \times, sondern \cdot

Also anstatt $\begin{eqnarray*} \times \ \to \ \cdot \end{eqnarray*}$

mY+

10.06.2014, 14:54

Silas.H

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Ja, ich weiss, dass es etwas spät ist, aber was bitteschön ist so schlimm daran? Wir wollen doch kein Theater veranstalten.

Übrigens danke für die Antwort, aber meiner Bitte ist damit nicht nachgekommen, ich wollte eigentlich, dass mir jemand die Ableitung von dem Beispiel, welches ich gepostet habe, erklärt.
Das Beispiel stand schon so auf der Seite (Klick) und ich verstehe die Ableitung gar nicht.

Dieses Beispiel:

$\begin{eqnarray*} y = arctan(x)\cdot ln(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u = arctan(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u' = \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v = lnx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v' = \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = u' \cdot v + v' \cdot u \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{1}{1 + x^{2}} \cdot ln(x) + \frac{1}{x} \cdot arctan(x) \end{eqnarray*}$

MfG
Silas

10.06.2014, 15:24

mYthos

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Zitat:

Original von Silas.H
...
Wir wollen doch kein Theater veranstalten.
...

Das sicher nicht, aber ich darf dich wohl auf die geringsten Regeln der Höflichkeit aufmerksam machen.
Wenn man eine Antwort bekommen hat, bedankt man sich oder gibt wenigstens sonst ein Feedback.
_______________________

Was hier abgelaufen ist, ist nichts anderes als einfach die Anwendung der Produktregel. Und diese steht doch auch schon da:

(uv)' = u'v + uv'

Schreibe für u und v die beiden Funktionen sant ihren Ableitungen und fertig ist die Geschichte.

Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x) = x \cdot \ln x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac 1 x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f \ '(x) = \ln x + 1 \end{eqnarray*}$

Und gut ist es.

mY+

10.06.2014, 18:13

Silas.H

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Zitat:

Original von mYthos

Das sicher nicht, aber ich darf dich wohl auf die geringsten Regeln der Höflichkeit aufmerksam machen.
Wenn man eine Antwort bekommen hat, bedankt man sich oder gibt wenigstens sonst ein Feedback.

Ja, das stimmt, ich werde mich in Zukunft bemühen.

Zurück zum Thema:
Erst mal danke für die Antwort ich glaube ich habe nun alles soweit verstanden, aber ich weiss immer noch nicht wie man den arctan(x) ableitet. Wie kommt man auf $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1+x^{2}} \end{eqnarray*}$ ?

10.06.2014, 19:34

LC94

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Hi,
allgemein gilt, wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ eine Funktion und $\begin{eqnarray*} f^{inv} \end{eqnarray*}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ ist, folgendes:
$\begin{eqnarray*} f(f^{inv}(x))=x~. \end{eqnarray*}$
Auf beiden Seiten ableiten liefert
$\begin{eqnarray*} f'(f^{inv}(x))\cdot (f^{inv})'(x) = 1 \end{eqnarray*}$
und durch Umstellen kommt man auf
$\begin{eqnarray*} (f^{inv})'(x)=\frac{1}{f'(f^{inv}(x))}~. \end{eqnarray*}$ (Geht natürlich nur, wenn $\begin{eqnarray*} f'(f^{inv}(x)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , aber das nur am Rande)

Nun weißt du hoffentlich, dass der $\begin{eqnarray*} \arctan \end{eqnarray*}$ die Umkehrfunktion vom $\begin{eqnarray*} \tan \end{eqnarray*}$ ist. Ferner solltest du wissen, dass $\begin{eqnarray*} \tan'(x)=1+\tan^2(x) \end{eqnarray*}$ (wenn du es nicht wusstest, weißt du es jetzt smile

). Setze nun
$\begin{eqnarray*} f(x)=\tan(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f^{inv}(x)=\arctan(x) \end{eqnarray*}$ . Jetzt einfach einsetzen und du erhälst
$\begin{eqnarray*} \arctan'(x)=\frac{1}{1+\tan^2(\arctan(x))}=\frac{1}{1+x^2}~. \end{eqnarray*}$

Analog kannst du jetzt z.B. die Ableitungen vom natürlichen Logarithmus, Arkussinus etc. bestimmen. Wenn noch fragen offen sind, stell sie einfach.

LG

10.06.2014, 23:08

Silas.H

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Danke, aber das verstehe ich im Leben nicht. Ausserdem habe ich meinen Lehrer gefragt und der meinte ich müsse das nicht können, trotzdem danke für die super Antwort!

Ich komme einigermassen gut voran mit dem Thema Differentialrechnung, momentan frage ich mich aber folgendes:

Ist $\begin{eqnarray*} \frac{2xh+h^{2}}{h} \end{eqnarray*}$ = 2xh+h (kürzen) oder 2x+h (geteilt) ?

11.06.2014, 01:08

mYthos

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Ersteres ist falsch, denn dividieren muss man beide Summanden (!), also ergibt sich 2x + h.
Vielleicht passiert dir der Fehler nicht, wenn du zuerst den Faktor h ausklammerst--> h(2x + h) und dann durch h kürzst.
Und jetzt - für den Grenzübergang - wird h Null gesetzt, was vorher nicht gegangen wäre, denn dann hätte sich 0/0 (eine "unbestimmte Form") ergeben.

mY+

11.06.2014, 07:15

Silas.H

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Ach so ist das. Jedoch weiss ich nicht, was der Grenzübergang ist.

11.06.2014, 11:53

mYthos

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Die Grenzwertbestimmung für $\begin{eqnarray*} h \to 0 \end{eqnarray*}$

12.06.2014, 20:55

Silas.H

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Danke für die Antwort. Weitere Fragen folgen demnächst, aber nicht heute...

MfG
Silas

Ich hätte wieder eine Frage: Wie leitet man $\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3} \end{eqnarray*}$ ab? Ich hab es mit der Quotientenregel versucht, aber dann erhalte ich

$\begin{eqnarray*} \frac{u'\cdot v+v'\cdot u}{v^2} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{3x^2\cdot 3+0\cdot x^3}{3^2} \end{eqnarray*}$
= $\begin{eqnarray*} x^2 \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

16.06.2014, 19:24

Silas.H

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Sorry ich muss einen Doppelpost machen, sonst sieht keiner, dass das Thema noch nicht abgeschlossen ist.

16.06.2014, 19:39

LC94

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Ist etwas umständlich das so zu machen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \frac{x^3}{3}~=~\frac{1}{3}x^3 \end{eqnarray*}$ und das kannste ganz "normal" ableiten, also

$\begin{eqnarray*} \left(\frac{1}{3}x^3\right)'~=~3\cdot \frac{1}{3}x^{3-1}~=~x^2~. \end{eqnarray*}$
Dein Ergebnis ist also richtig.

LG

16.06.2014, 19:59

Silas.H

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So einfach wäre es also gegangen, danke smile

Auf dieser Seite über den Sattelpunkt beim Rechnungsbeispiel werden f' und f'' gleich null gesetzt und x ermittelt. Aber wieso macht man das mit f'? Man brauch ja dann sowieso das x von f'' um in f''' einzusetzen. Das x von f' braucht man ja gar nicht?

Und wie kommt man von $\begin{eqnarray*} -2x^2+4x-2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} x^2-2x+1 \end{eqnarray*}$ ?

16.06.2014, 20:16

LC94

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Also ganz allgemein gilt:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ hat einen Sattelpunkt an der Stelle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ , wenn folgendes gilt:
$\begin{eqnarray*} <br /> 1)~f'(a)=0\\<br /> 2)~f''(a)=0\\<br /> 3)~f'''(a)\neq 0<br /> \end{eqnarray*}$

D.h. du berechnest die Nullstellen von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ . Wenn an einer dieser Stellen ein Sattelpunkt sein soll, so muss dies auch eine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} f'' \end{eqnarray*}$ sein und die dritte Ableitung muss an der stelle ungleich 0 sein.
D.h. man berechnet "das x", indem man die erste Ableitung =0 setzt und dann setzt man "dieses x" in die zweite bzw. dritte Ableitung ein.

In deinem Beispiel ist das nur etwas unglücklich aufgeschrieben, da nicht 1 in f'' eingesetzt wird, sondern die Nullstellen von f'' berechnet werden und dann verglichen wird. Geht aber auch.

Zu deiner zweiten Frage:
$\begin{eqnarray*} -2x^2+4x-2=0 \end{eqnarray*}$
Teile nun beide Seiten der Gleichung durch -2, dann erhälst du
$\begin{eqnarray*} x^2-2x+1=0 \end{eqnarray*}$

16.06.2014, 20:25

Silas.H

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Danke.
Und woher weiss ich, ob ich das x von der ersten Ableitung in die zweite oder dritte Ableitung einsetzen muss?

16.06.2014, 21:08

LC94

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Das musst du in beide einsetzen, um zu überprüfen, ob an dieser Stelle ein Sattelpunkt vorliegt. Denn das ist nur der Fall, wenn die von mir beschriebenen Eigenschaften erfüllt sind.

16.06.2014, 21:46

Silas.H

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Ach so, danke

17.06.2014, 10:38

Silas.H

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Ich habe folgende Aufgabe:

Bestimme jeweils die Parameter a und b so, dass die Funktion überall stetig und differenzierbar ist.

https://www.dropbox.com/s/25wq5raigmolm9u/2014-06-17%2010.35.41.jpg

Ich habe keine Ahnung, wie man diese Aufgabe löst.

17.06.2014, 15:34

LC94

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Weißt du denn, was Stetigkeit und Differenzierbarkeit bedeutet?

17.06.2014, 18:23

Silas.H

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Nein, nicht so wirklich.

17.06.2014, 19:22

LC94

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Also, zunächst eine anschauliche Erklärung zur Stetigkeit (formale Definition lasse ich mal weg, die verwirrt nur):

Wenn du den Graph der Funktion zeichnen kannst, ohne den Stift abzusetzen, ist sie stetig. Das heißt, sie hat keine Sprünge.

Ein Beispiel für eine Funktion, die nicht stetig ist (beachte den Sprung bei x=2)

[attach]34631[/attach]

Du musst jedoch aufpassen, wenn es Definitionslücken gibt, z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ an der Stelle x=0. Da könnte man denken, dass dort ein Sprung ist, aber da ist eben die Funktion nicht für x=0 definiert (siehe Bild)

[attach]34632[/attach]

Nun zur Differenzierbarkeit. Formale Definition:
Eine Funktion $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ heißt differenzierbar, wenn
$\begin{eqnarray*} f'(x)=\lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} \end{eqnarray*}$ existiert,
also wenn die Ableitung existiert.
Anschaulich ist eine Funktion an den Stellen differenzierbar, an denen man eine Tangente einzeichnen kann. Dies geht immer, wenn der Graph der Funktion "glatt" ist, z.B. bei $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ (vgl. Bild oben). Anschaulich sind Funktionen an den Stellen nicht differenzierbar, an denen der Graph einen Knick hat (da kann man schließlich keine vernünftige Tangente einzeichnen). Ein Beispiel:

[attach]34633[/attach]

Diese Funktion ist in 0 nicht differenzierbar, da sie dort einen Knick hat. Sie ist aber überall stetig.

So, wenn du diese Erklärungen verstanden hast, kannst du dir ein paar Gedanken zu deiner Aufgabe machen. Ein paar Hilfestellungen:
"Was kann schiefgehen?" D.h. wann, wäre die Funktion nicht stetig? Leite dir daraus ab, wie du a,b zu wählen hast.
Wann wäre die Funktion anschaulich gesehen nicht differenzierbar? Was folgt daraus für die "Verbindungsstelle"? (die Funktion ist ja abschnittsweise definiert)

Ach ja noch ein Hinweis: Wenn eine Funktion an einer Stelle differenzierbar ist, so ist sie an dieser Stelle auch stetig (mach dir klar, warum das so ist, anschaulich).
Andererseits gibt es Funktionen, die an einer Stelle stetig sind, aber an dieser Stelle nicht differenzierbar (letztes Beispiel).
Differenzierbarkeit ist also eine "mächtigere" Eigenschaft als Stetigkeit, aber das nur am Rande.

LG

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