Bijektion zwischen zwei Mengen bestimmen

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KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »
Bijektion zwischen zwei Mengen bestimmen
Hallöchen,

ich bräuchte da mal einen Tipp.

Ich muss für verschiedene Aufgaben eine Bijektion zwischen den folgenden Mengen angeben, mein Problem ist, ich verstehe einfach nicht, wonach ich genau suche.

a) und a,b,c,d sind aus R und a<b, c<d

b) und bzw. und

Also, ich habe einfach GAR keine Ahnung, was ich hier machen soll bzw, wie ich hier was machen soll.

Immer, wenn ich Bijektion google, komme ich zur Bijektivität, die ja besagt, dass alle Elemente von einer Menge A auf die Menge B abgebildet werden muss.

Bitte um etwas Starthilfe smile
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Habe zwar jetzt auch nicht den großen Plan davon aber du solltest dir noch mal die Definition von Bijektivität anschauen, denn was zu schreibst stimmt noch nicht wirklich.
MfG
 
 
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei a) sollst du eine Abbildung suchen, die bijektiv ist, d.h. injektiv und surjektiv. Weißt du, was diese Begriffe bedeuten?

Und hast du eine Idee, wie diese Abbildung aussehen könnte?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Also, bijektiv bedeutet, dass ich zu jedem a aus der Menge auch ein "Partner" b aus der Menge B finden kann, also auf dieses abbilden kann.

also muss jedes Element x aus dem Intervall ein y aus dem Intervall finden.

Muss ich denn da jetzt eine Funktion aufstellen? ODer wie zeige ich das? verwirrt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Das war nur die Surjektivität. Eine Funktion mit dieser Eigenschaft muss aber noch nicht injektiv sein. Und was ist auf einmal die Menge B?

Und ja, du musst einfach eine solche bijektive Funktion finden.

Edit: Unsinn, was ich da erzähle. Das, was du geschrieben hast, bedeutet noch nicht mal Surjektivität (siehe den Beitrag von Kev04 direkt drunter).
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein! Das ist noch lange keine Bijektivität. Du gibst lediglich die Definition einer Abbildung an und nicht einmal dass glasklar denn auch hier müsste es heißen genau auf ein b. Eine bijektive Abb. ist ein f:A->B für das gilt für alle b€B existiert genau ein a€A. Das heißt das jeder Wert von B genau einmal von A durch Anwenden von f getroffen wird. Schau dir vielleicht mal an was Surjektivität und Injektivität bedeuten denn wenn beides gilt ist eine Abb. bijektiv
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Das sollte a aus der Menge A bedeuten und b aus der Menge B (das soll die Zielmenge darstellen). Damit eine Funktion bijektiv ist, muss sie ja sowohl injektiv als auch surjektiv sein.

Eine bijektive Funktion ist ja zum Beispiel:

f(x) = x+1, kann ich dann einfach sagen, dass ist jetzt meine Funktion? Das ergibt doch dann gar keinen Sinn traurig
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kev04, willst du hier weitermachen? Du warst ja zuerst da.
Ich hatte bloß das hier
Zitat:
Original von kev04
Habe zwar jetzt auch nicht den großen Plan davon

so gedeutet, dass vielleicht noch jemand anders helfen soll. smile
kev04 Auf diesen Beitrag antworten »

Du sollst es auf jeden Fall zu ende führen ich wollte ihm lediglich klar machen was denn jetzt überhaupt Bijektitvität bedeutet. Bin mir nämlich nicht sicher ob er das weiß obwohl sein Beispiel gut ist, aber du weißt wie die komplette Aufgabe gelöst werden kann also klinke ich mich jetzt mal aus.
Euch noch viel Spaß dabei.
MfG
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeineLangeweile
Eine bijektive Funktion ist ja zum Beispiel:

f(x) = x+1

Das ist noch keine Funktion; da fehlen Definitions- und Wertebereich (und die sind wichtig, um überhaupt Injektivität und Surjektivität untersuchen zu können).

Und hast du dir jetzt nochmal angeguckt, was Bijektivität genau bedeutet? Bis jetzt schien das ja noch nicht so klar zu sein.


Zitat:
Original von kev04
Eine bijektive Abb. ist ein f:A->B für das gilt für alle b€B existiert genau ein a€A.

Da muss man noch ergänzen: "sodass f(a)=b".
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, also



So, ja, also ich habe mir die Definition von bijektivität zwar nochmal durchgelesen, aber mir wird das alles einfach nciht klar. Also, ich muss eine Funktion finden, bei der einem x Wert eindeutig mindestens ein f(x) Wert zugeordnet werden kann (Surjektiv) UND gleichzeitig dem x Wert höchstens ein f(x) Wert. Kann man das so sagen? Formal kriege ich das einfach nciht auf die Reihe (schreckliches Thema, finde ich).
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die Funktion ist bijektiv.

Jede Abbildung ordnet jedem genau ein zu. Das, was du geschrieben hast, erfüllt also jede Abbildung.

Kev04 hat es schon ganz gut zusammengefasst: Eine Abbildung ist bijektiv, wenn es zu jedem genau ein gibt, sodass .
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das habe ich jetzt halbwegs nachvollzogen. Aber wie gehe ich denn jetzt bei meiner Aufgabe weiter vor? Ich bin ja noch nicht fertig, oder?

Ach, und danke schon Mal für die Hilfe smile
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeineLangeweile
Ich bin ja noch nicht fertig, oder?

Nein, du hast noch nicht mal angefangen. Big Laugh

Bei a) ist ja eine bijektive Funktion gesucht.
Hier mal eine Idee, wie so eine Funktion aussehen könnte (es gibt natürlich noch mehr Möglichkeiten, aber das ist eine einfache):
[attach]34216[/attach]

Kannst du jetzt die Funktionsgleichung zu dieser Funktion aufstellen?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Meine "Lösung" kommt mir zwar irgendwie komisch vor, aber ich versuche es mal Big Laugh

ist ja die allgmeine Gleichung.

Jetzt die Steigung m berechnen, dann einsetzen:



Also:







also ist die Gleichung
Keine Langeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Also von R nach R: x nach .... dem ganzen Term, den ich da aufgeschrieben habe
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Idee ist schon mal richtig.
Aber das m stimmt nicht. Es ist doch . Du hast also Nenner und Zähler vertauscht.

Und wie du dann auf das n gekommen bist, verstehe ich auch nicht so wirklich (aber das musst du sowieso nochmal neu berechnen, weil du ja jetzt ein anderes m hast).


Zitat:
Original von Keine Langeweile
Also von R nach R: x nach .... dem ganzen Term, den ich da aufgeschrieben habe

Wieso ? Wir suchen doch eine Funktion .
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, da ist mir wohl ein Fehler unterlaufen, soll dann jetzt so aussehen (alles schonmal eingesetzt):

Dann mit a ausmultiplizieren

Und dann nach n umstellen also mal dem Kehrwert des Bruches nehmen:



10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeineLangeweile
Und dann nach n umstellen also mal dem Kehrwert des Bruches nehmen:



verwirrt
Du hast doch rechts eine Summe stehen. Und was ist die Umkehroperation der Addition? Jedenfalls nicht die Multiplikation.
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Ist irgendwie schon sehr spät für mich ... Big Laugh Natürlich muss ich nur subtrahieren!!

Also:

10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Jetzt hast du also m und n bestimmt. Unsere Funktion lautet dann: .

Übrigens: Wenn du davon jetzt die Umkehrfunktion bildest, hast du eine bijektive Funktion
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Oh je, da wäre ich ohne Hilfe nie drauf gekommen.

Ich versuche mich mal an der zweiten Aufgabe smile Ich soll ja eine funktion finden, die dann Wenn ich mir das jetzt mal graphisch vorstelle:



das bedeutet ja, dass alles offene Intervalle sind, wobei das bei den Unendlichen ja eh egal ist.

Da klappt das aber nicht mit einer Gleichung, oder?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Und zu a): Muss ich das Ganze dann jetzt nochmal vertauscht zeigen, weil sich ja auch Werte und Definitionsbereich verändern ...
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso sollte das nicht klappen? smile

Du kennst ja bestimmt die bijektive Funktion .

Du kannst jetzt versuchen, dir daraus eine bijektive Funktion zu basteln (durch Verschieben, Strecken/Stauchen, etc. von ).
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die kannte ich ehrlich gesagt bisher nicht. Wir hatte auch in der VO noch nichts von tan, sin, cos oder arc- von denen (hatte ich leider auch nicht in der Schule) unglücklich

Aber ich werde mich mal versuchen. Wie verschiebt man denn da arctan? Bzw. was genau verändert es an der Funktion, das ist mir nicht ganz klar :/
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Funktion sieht so aus:

[attach]34219[/attach]

(ich habe da mal die Asymptoten eingezeichnet)

Jetzt können wir ja die Funktion um nach oben verschieben. Dann haben wir die bijektive Funktion . Wir brauchen aber eine Funktion mit dem Wertebereich . Weißt du, wie man das jetzt noch erreichen kann?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Muss ich dann anstatt einfach , weil ich das einfach durch eine ersetze?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

meinte ich natürlich!!
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, das funktioniert nicht:

[attach]34220[/attach]

Du musst die Funktion g, die ich oben hingeschrieben habe, mit einem bestimmten Faktor multiplizieren.
Es gilt ja .
Mit welchem Faktor musst du jetzt multiplizieren, damit dann gilt ?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Ich antworte dir Morgen, gehe jetzt erst einmal schlafen. Gute Nacht smile
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Guten Morgen!! smile

Ich habe jetzt mal ein wenig mit dem Taschenrechner rumprobiert und komme auf einen Wert von 0,0593 für a. Stimmt das? Dann komme ich gerundet auf 1
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie kommst du auf diesen Wert? Der ist jedenfalls falsch. Abgesehen davon wirst du hier durch Rumprobieren mit dem Taschenrechner sowieso nicht auf den richtigen Wert kommen.

Die Funktionswerte von g nähern sich doch immer mehr an an, je größer x wird. Wir wollen jetzt aber, dass sich die Funktionswerte an 1 annähern. Da springt einem doch schon fast ins Auge, mit welchem Faktor man da multiplizieren muss. Augenzwinkern
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Mal x, Mal 1 oder Mal Pi?? Ich verstehe es einfach nicht. Wie sehe ich das denn? Mir springt da trotz meine Bemühungen nichts ins Auge traurig
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist doch .

Und das soll gleich 1 sein, es soll also gelten . Wie groß ist jetzt a?
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Dann ist es wohl:

a=\frac{1}{\pi }

Aber wenn ich: in den Taschenrechner eingebe, kommt nicht raus geschockt
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Kann ja auch nicht, denn nimmt nur Werte zwischen 0 und 1 an.

Aber die Funktion ist jetzt bijektiv.

KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Ja gut, wenn ich den Graphen jetzt sehe, sehe ich dann auch die Bijektivität.

Und wenn ich eine Funktion von und habe, dann kann ich doch als Funktion nehmen, weil ich jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnen, kann, richtig?

Werde mir aber deine ganzen Veranschaulichungen nochmal zu Gemüte führen, damit ich es auch wirklich verinnerliche.
Gibt es da irgendeinen Trick, wie man auf solche Funktionen kommen kann?
10001000Nick1 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von KeineLangeweile
Und wenn ich eine Funktion von und habe, dann kann ich doch als Funktion nehmen, weil ich jedem x-Wert genau einen y-Wert zuordnen, kann, richtig?


Was hat jetzt das eine mit dem anderen zu tun? verwirrt
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Hoppla, es sollten dort die anderen Intervalle stehen, habs falsch kopiert aus dem Formeleditor.

:

Das hatte ich mir dafür überlegt,


Entschuldige smile
KeineLangeweile Auf diesen Beitrag antworten »

Schon wieder nicht richtig ...
also Ich meinte e^x passt zum Aufgabenteil b) 2 wo man von (-unendlich, unenedlich) auf (0, unendlich abbildet. Dazu sollte das dann doch gehen, oder?
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