zyklische Untergruppe bestimmen

11.05.2014, 20:33

dudidude

zyklische Untergruppe bestimmen

Meine Frage:
Bestimme alle zyklischen Untergruppen von

$\begin{eqnarray*} a)Z/2Z x Z/2Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b)Z/10Z \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} c)(\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} d)Sym_3 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
a)

$\begin{eqnarray*} Z/2Z x Z/2Z =\left\{([0],[0]),([0],[1]),([1],[0]),([1],[1])\right\} \end{eqnarray*}$

Satz von Langrang besagt ja Wenn HcG und H untergruppe genau dann,wenn die Mächtigkeit von G durch die Mächtigkeit von H geteilt wird

$\begin{eqnarray*} Z/2Z x Z/2Z \end{eqnarray*}$ hat die mächtigkeit 4.

deshalb $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ := {([0],[0])} ist genau dann zyklisch wenn $\begin{eqnarray*} a\in U_1 :=\left\{<a^n>|n\in \mathbb N\right\} \end{eqnarray*}$ die ganze $\begin{eqnarray*} U_1 \end{eqnarray*}$ erzeugt.

$\begin{eqnarray*} ([0],[0])^n \end{eqnarray*}$ bleibt ja $\begin{eqnarray*} ([0],[0])^n \end{eqnarray*}$ ,weil $\begin{eqnarray*} [0]^n = [0] \end{eqnarray*}$ ist. deshalb ist dieses Element selbst invers und neutral.

$\begin{eqnarray*} U_2:=\left\{([0],[1])\right\} \end{eqnarray*}$ nun zu prüfen ob $\begin{eqnarray*} U_2 \end{eqnarray*}$ zyklisch ist. $\begin{eqnarray*} ([0],[1])^n = ([0],[1]) \end{eqnarray*}$ egal wie of potenziert wird. Das bedeutet,dass die Gruppe selbst invers und neutrales Element zugleich ist.

$\begin{eqnarray*} U_3:=\left\{([1],[0])\right\} \end{eqnarray*}$ .Nun zu prüfen , ob $\begin{eqnarray*} U_3:=\left\{([1],[0]^n)\right\} \end{eqnarray*}$ zyklisch ist.
$\begin{eqnarray*} ([1],[0]^n)= ([1],[0]^) \end{eqnarray*}$ ,da $\begin{eqnarray*} [0]^n =[0] \wedge [1]^n=[1] \end{eqnarray*}$ ist. Das heißt auch wieder,dass(latex]([0],[1])[/latex] neutrales und inverses Element zu gleich sind.

$\begin{eqnarray*} U_4:=\left\{([0],[0]),([0],[1]),([1],[0]),([1],[1])\right\} \end{eqnarray*}$ ist die Gruppe selbst und daher trivial.

b) $\begin{eqnarray*} Z/10Z:=\left\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]\right\} \end{eqnarray*}$
laut definiton von zyklischer Grp. und Langrang oben , resultiert folgendes.

$\begin{eqnarray*} U_1:=\left\{[0]\right\}, da [0]^n=[0] \end{eqnarray*}$ ist [0] selbstinvers und neutral zugleich.

$\begin{eqnarray*} U_2:=\left\{[2]\right\} , da [2]^n \end{eqnarray*}$ ergibt sich $\begin{eqnarray*} [2]^1 = [2],[2]^2=[4],[2]^3=[8],[2]^4=16=[0],[2]^5=32=[2] \end{eqnarray*}$
also gibt es inverses und neutrales
$\begin{eqnarray*} U_3:=\left\{[5]\right\} da [5]^n gilt : [5]^1=[5],[5]^2=25=[0],[5]^3=[5] \end{eqnarray*}$ so ist 5 neutral und hat ein inverses.
$\begin{eqnarray*} U_4:=\left\{[1]\right\} da [1]^n immer =[1] \end{eqnarray*}$ ist es selbst invers und neutral zugleich.
$\begin{eqnarray*} U_5:=\left\{[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7],[8],[9]\right\} \end{eqnarray*}$ erzeugt die gruppe selbst.

c) $\begin{eqnarray*} (\mathbb R,+) \end{eqnarray*}$

gibt es doch eigentlich nur zwei unter gruppen $\begin{eqnarray*} \mathbb Z und \mathbb Q \end{eqnarray*}$ weil beide ein neutrales haben die 1 und ein inverses ,dass macht doch auch den unterschied zu den $\begin{eqnarray*} \mathbb N \end{eqnarray*}$ da diese kein neutrales und inverses haben?

d)
$\begin{eqnarray*} Sym_3:=\left\{id,(213),(312),(132),(231),(321)\right\} \end{eqnarray*}$

Hier hab ich leider keine Ahnung wie ich das machen soll..:/ wäre sehr dankbar wenn einen kleinen stubser bekommen könnte.

vielen danke jetzt schonmal für lesen und für die hilfe!

dudidude

11.05.2014, 21:05

Captain Kirk

zyklische Untergruppe bestimmen

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