Beweis: n!/k1!...kr! ist ganzzahlig

13.05.2014, 09:47	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
*Beweis: n!/k1!...kr! ist ganzzahlig* Dass $\begin{eqnarray} \binom{n}k \end{eqnarray}$ ganzzahlig ist, konnte ich beweisen. Gilt das auch für $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k_1!\cdotk_2! \cdots k_r!} \end{eqnarray}$ ? Liegt auch hier eine ganze Zahl vor? Falls ja, wie kann ich das zeigen? n ist dabei eine natürliche Zahl, die $\begin{eqnarray} k_i \end{eqnarray}$ sind ebenfalls natürlich (mit Null) und $\begin{eqnarray} k_1 + ... + k_r = n \end{eqnarray}$ gilt auch noch.
13.05.2014, 09:57	Vezzril	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Beweis: n!/k1!...kr! ist ganzzahlig* $\begin{eqnarray} \frac{n!}{k_1! \cdot k_2! \dots k_r!} \end{eqnarray}$ So sollte es sein. Ich glaube das ist der multinomialkoeffizient?
13.05.2014, 10:40	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
*RE: Beweis: n!/k1!...kr! ist ganzzahlig* hallo, ja selbstverständlich nimmt auch der multinomialkoeffiziert nur ganzzahlige werte an. Man könnte das durch vollständige induktion über die anzahl r der faktoren im nenner beweisen, indem man sich überlegt, was pasiert, wenn unten ein neuer faktor k_(r+1)! hinzukommt und sich oben n! um die entsprechenden faktoren erhöht. Denk mal darüber nach, es ist garnicht so schwiegrig. gruss ollie3
13.05.2014, 11:55	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Man könnte natürlich auch zeigen, daß der Multinomialkoeffizient ein kombinatorisches Problem löst. Dann muß er ganzzahlig sein: Wie viele "Wörter" lassen sich aus den Buchstaben des Wortes ROKOKOKOMMODE* legen?* $\begin{eqnarray} \frac{13!}{5! \cdot 3! \cdot 2!} = \frac{13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6}{3! \cdot 2!} = 13 \cdot 11 \cdot 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \end{eqnarray}$

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