Linearkombination

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Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »
Linearkombination
Hallo,

was ist eine Linearkombination (vereinfacht für den R3)?

Eine Linearkombination ist das Ergebnis der Addition mindestens dreier Vektoren, die NICHT in einer gemeinsamen Ebene liegen dürfen. Stimmt das?

Würden die drei Vektoren in einer gemeinsamen Ebene liegen, dann wäre das Ergebnis ihrer Addition KEINE Linearkombination. Stimmt das?

Gruß, Asca
DeltaX Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, eine Linearkombination bezieht sich erstmal auf beliebige Vektoren , die z.B. alle in der x-y-Ebene liegen.

Wir bleiben einfach mal im R³.

Wenn du dir die x-y-Ebene vorstellst, so kannst du die Vektoren ja "aneinander" Zeichnen, dann erhältst du eine "Aneinanderkettung" von Pfeilen, die, wenn man den Gesamtanfangspunkt und den Gesamtendpunkt betrachtet, einen neuen Vektor ergeben.

Das "Linear" bedeutet nur, dass man diese drei Vektoren mit einem Linearfaktor multipliziert (das ergibt dann immer Vielfache der Vektoren selbst)

z.B. ist ein "Lamda-faches" des Vektors u.

Du kannst auch vielfache deiner 3 Vektoren miteinander linear kombinieren, natürlich auch, wenn sie in eine Ebene liegen, jedoch werden im R³ dann min. 2 Vektoren linear abhängig sein.

Niemand verbietet eine Linearkombination von Vektoren in einer Ebene, jedoch ist es oft sinnvoll eine Linearkombination aus Vektoren zu bilden, die linear unabhängig sind:

Deine Achsen im R³ sind nichts weiter als 3 linear unabhängige Vektoren:




Um nun z.B. zum Punkt zu gelangen, machst Du nichts anderes, als eine Linearkombination zu bilden. Der Unterschied liegt nur darin, dass du schon feste Werte für deine Faktoren hast.

So brauchst du hierfür 5 mal den ersten Vektor, 3 mal den zweiten und Null mal den dritten, um zum gewünschten Punkt zu gelangen.

Für eine normale/übliche Linearkombination sind die Faktoren meist durch Variablen ersetzt, da sie in der Aufgabe meist gesucht sind oder optimiert werden müssen.

smile Hoffe das hilft dir.
Ascareth Auf diesen Beitrag antworten »

Dann wäre ja diese Information hier falsch wenn ich nicht irre:
(Ich meine nämlich auch, dass ein resultierende Vektor dreier Vektoren IMMER von diesen Vektoren linear abhängig ist, ganz egal, ob sich alle komplanar zueinander verhalten oder nicht.)

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