Untergruppen von Z / 32Z

13.05.2014, 15:51

lutzy

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Untergruppen von Z / 32Z

Meine Frage:
Hallo!

[attach]34248[/attach]

So richtig weiss ich leider nichts mit der Aufgabe anzufangen.

Meine Ideen:
Also:
$\begin{eqnarray*} <br /> ggT(a,32)=1<br /> \Rightarrow \left\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31\right\} \end{eqnarray*}$

Bin jetzt mal darauf gestoßen den größten gemeinsamen Teiler der Zahlen mit 32 zu berechnen. Aber ist das überhaupt richtig? Denn so habe ich ja jetzt nur die ungeraden Zahlen.
wenn doch, wie geht es nun weiter?

MfG und Danke!

13.05.2014, 15:56

bijektion

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Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31\right\} \end{eqnarray*}$

Wie soll das eine Untergruppe sein? unglücklich

unglücklich

Als erstes kannst du schonmal die trivialen Untergruppen bestimmen: Die Gruppe die nur aus dem neutralen Element (welches ist das?) besteht und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/32\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ selbst.

13.05.2014, 16:18

lutzy

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

$\begin{eqnarray*} \left\{1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31\right\} \end{eqnarray*}$

Wie soll das eine Untergruppe sein? unglücklich

unglücklich

Als erstes kannst du schonmal die trivialen Untergruppen bestimmen: Die Gruppe die nur aus dem neutralen Element (welches ist das?) besteht und $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/32\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ selbst.

Ok, ich dachte es wäre zumindest schonmal ein Anfang.

Also das neutrale Element ist doch die 1 oder? Bzw woher weiß ich das so genau?
Mich hat nämlich auch zunächst verwirrt, dass hier gar nicht angegeben ist ob es sich um Multiplikation oder Addition handelt

verwirrt

13.05.2014, 16:27

eni2208

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Naja wenn es 1 wäre, was müsste dann gelten? 1 verknüpft mit sich selbst müsste dann auch Element darin sein, ist es aber nicht, oder? Also wohl eher 0 als neutrales Element.. Wichtig ist ja immer, dass die Elemente miteinander verknüpft wieder Element sind. Was passiert wenn 2 Element sein soll? Was ist dann automatisch auch Element?

13.05.2014, 16:29

bijektion

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Zitat:

Also das neutrale Element ist doch die 1 oder?

Nein, es ist gezeigt worden, dass $\begin{eqnarray*} \overline{a}+\overline{b}=\overline{a+b} \end{eqnarray*}$ , daher muss $\begin{eqnarray*} \overline{0} \end{eqnarray*}$ das neutrale Element sein.

Du kannst jetzt den Satz von Lagrange nutzen, d.h. die Ordnung von Untergruppen muss Teiler der Gruppenordnung sein. Was ist denn die Gruppenordnung?

Ist die Aufgabe zufällig von einem Jahnel? Big Laugh

Big Laugh

Zitat:

Naja wenn es 1 wäre, was müsste dann gelten? 1 verknüpft mit sich selbst müsste dann auch Element darin sein, ist es aber nicht, oder?

Das Argument ist aber nicht wirklich gut. Wenn $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ Untergruppe von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, dann ist das neutrale Element von $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ gleich dem von $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ .
Und in diesem speziellen Fall ist $\begin{eqnarray*} \overline{1}+\overline{1} =\overline{2} \in \mathbb{Z}/32\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ , deshalb ist aber $\begin{eqnarray*} \overline{1} \end{eqnarray*}$ noch lange nicht das neutrale Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/32\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ .

13.05.2014, 16:35

eni2208

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Das meine ich ja gerade Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also dass 1 eben nicht das neutrale Element sein kann in der trivialen UG

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13.05.2014, 16:38

bijektion

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Dann macht das schon mehr Sinn. Aber enn man nicht weiß was das neutrale Elemt in $\begin{eqnarray*} G \end{eqnarray*}$ ist, sollte man sich erstmal zurückhalten, Untergruppen zu bestimmen zu wollen.

13.05.2014, 16:55

lutzy

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Zitat:

Was ist denn die Gruppenordnung?

Die Gruppenordnung ist 32. Also Ordnung der Untergruppen 1,2,4,8,16?

Zitat:

Ist die Aufgabe zufällig von einem Jahnel? Big Laugh

Big Laugh

Ja , die Aufgabe ist vom Jahnel Freude

Freude

13.05.2014, 17:03

bijektion

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Zitat:

Die Gruppenordnung ist 32. Also Ordnung der Untergruppen 1,2,4,8,16?

Streng genommen fehlt da noch 32 als Untergruppenordnung smile

smile

Die mit Ordnung 1 und die mit 32 haben wir ja schon, die nächste ist die mit 2 Elementen. Wenn $\begin{eqnarray*} \overline{0} \in H_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann brauchst du noch ein anderes Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ; und für das muss doch gelten $\begin{eqnarray*} \overline{x}+\overline{x}=\overline{32}=\overline{0} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} ord x =2 \end{eqnarray*}$ .
Welches Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/32\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ hat Ordnung 2? Freude

Freude

Zitat:

Ja , die Aufgabe ist vom Jahnel Freude

Ich hab es mir gedacht Freude

Freude

13.05.2014, 17:16

lutzy

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Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} \overline{0} \in H_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann brauchst du noch ein anderes Element $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ ; und für das muss doch gelten $\begin{eqnarray*} \overline{x}+\overline{x}=\overline{32}=\overline{0} \end{eqnarray*}$ , also ist $\begin{eqnarray*} ord x =2 \end{eqnarray*}$ .
Welches Element in $\begin{eqnarray*} \mathbb{Z}/32\mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ hat Ordnung 2? Freude

Freude

Ich tippe mal auf 16? Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und dann wäre die nächste Untergruppe 0,8,16 und das vierte Element?
Also so ganz habe ich es noch nicht verstanden Big Laugh

Big Laugh

13.05.2014, 17:22

bijektion

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Zitat:

Ich tippe mal auf 16? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \overline{16} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Und dann wäre die nächste Untergruppe 0,8,16 und das vierte Element?

Was ist das Inverse zu $\begin{eqnarray*} \overline{8} \end{eqnarray*}$ ?

13.05.2014, 17:29

lutzy

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Zitat:

Original von bijektion

Zitat:

Ich tippe mal auf 16? Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} \overline{16} \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Und dann wäre die nächste Untergruppe 0,8,16 und das vierte Element?

Was ist das Inverse zu $\begin{eqnarray*} \overline{8} \end{eqnarray*}$ ?

[l]\overline{24}[/] ? Big Laugh

Big Laugh

13.05.2014, 17:30

bijektion

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Da hast du schon wieder eine Untergruppe Freude

Freude

13.05.2014, 17:47

lutzy

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Zitat:

Original von bijektion
Da hast du schon wieder eine Untergruppe Freude

Freude

Ok, ich glaube ich hab's begriffen Freude

Freude

Die nächste wäre dann: {0,4,8,12,16,20,24,28}

und dann noch: {0,2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30}

Richtig?

13.05.2014, 17:55

bijektion

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Richtig

Freude

13.05.2014, 18:03

lutzy

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Zitat:

Original von bijektion
Richtig Freude

Freude

Super, vielen Dank!
Du hast mir sehr geholfen Wink

Wink

13.05.2014, 18:04

bijektion

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Kein Problem Augenzwinkern

Augenzwinkern

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