Potenz einer Primzahl in PFZ von n!

14.05.2014, 09:34

Vezzril

Potenz einer Primzahl in PFZ von n!

Hi

Ich möchte zeigen, dass für

$\begin{eqnarray*} \lambda = \sum_{i=1}^\infty floor[\frac{n}{p^i}] \end{eqnarray*}$ , was bereits bewiesen ist, gilt:

$\begin{eqnarray*} \lambda \leq floor[{\frac{n}{p-1}}] \end{eqnarray*}$

Ich habe also:

$\begin{eqnarray*} \lambda = \sum_{i=1}^\infty floor[\frac{n}{p^i}] \leq \sum_{i=1}^\infty \frac{n}{p^i} = \sum_{i=0}^\infty \frac{n}{p^i} - \frac{n}{p^0} = n \cdot \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{p^i} - n = \frac{n}{p-1} - n = \frac{n - n*(p-1)}{p-1} = \frac{n* (2-p)}{p-1} \end{eqnarray*}$ .

Im letzten Schritt hätte ich dann zur gewünschten rechten Seite abgeschätzt, allerdings ist mir aufgefallen, dass der letzte Term in meiner Rechnung negativ sein kann. Da sitmmt doch was nicht verwirrt

Ich sehe leider nicht, wo mein Fehler ist, wäre also dankbar für einen Hinweis!

14.05.2014, 09:36

Vezzril

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EDIT: Mich würde natürlich auch interessieren wie ich dann abschätzen kann nach oben auf Floor[n/(p-1)] Big Laugh

14.05.2014, 10:16

dastrian

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Bist du sicher, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p^i} = \frac{1}{p-1} \end{eqnarray*}$

???

14.05.2014, 10:47

Vezzril

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Zitat:

Original von dastrian
Bist du sicher, dass

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p^i} = \frac{1}{p-1} \end{eqnarray*}$

???

Aha! Es müsste

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{1}{p^i} = \frac{p}{p-1} \end{eqnarray*}$ sein, richtig?

aber selbst dann gelingt mir die korrekte Abschätzung nicht, denn warum ist folglich

$\begin{eqnarray*} \frac{n}{p-1} \leq Floor[\frac{n}{p-1}] \end{eqnarray*}$ ?

14.05.2014, 11:11

HAL 9000

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Du weist $\begin{eqnarray*} \lambda \leq \frac{n}{p-1} \end{eqnarray*}$ nach, und außerdem weißt du aufgrund seiner Definition, dass $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ ganzzahlig ist!!!

Also ist $\begin{eqnarray*} \lambda = \lfloor \lambda \rfloor \leq \left\lfloor \frac{n}{p-1} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ basierend auf der Monotonie der Gaußklammerfunktion. Augenzwinkern

P.S.: Tatsächlich kann man sogar

$\begin{eqnarray*} \lambda = \sum_{i=1}^{\infty} \left\lfloor \frac{n}{p^i} \right\rfloor = \frac{n-Q_p(n)}{p-1} \end{eqnarray*}$

nachweisen, dabei ist $\begin{eqnarray*} Q_p(n) \end{eqnarray*}$ die Quersumme der Zahl $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ -adischer Darstellung.

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