Zyklische Gruppe Beweis, Werte berechnen

14.05.2014, 12:48	Chryb	Auf diesen Beitrag antworten »
Zyklische Gruppe Beweis, Werte berechnen Hallo, die Aufgabe lautet wie folgt: Zeigen Sie, dass $\begin{eqnarray} (\mathbb{Z}_{11}^, \cdot) \end{eqnarray}$ zyklisch ist. Nutzen Sie diese Eigenschaft um folgende Werte in $\begin{eqnarray} \mathbb{Z}_{11} \end{eqnarray}$ zu berechnen. $\begin{eqnarray} 5^{-1}, \dfrac{3}{7} \text{ und } \dfrac{7^3+5^8}{2^3+3^8} \end{eqnarray}$ Meine Lösung bisher: Eine Gruppe $\begin{eqnarray} (G, \cdot) \end{eqnarray}$ heißt zyklisch, wenn es ein $\begin{eqnarray} g \in G \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} G = \langle g\rangle \end{eqnarray}$ gibt. $\begin{eqnarray} \langle g\rangle = \{e, g, g^2, ..., g^{n-1}\} \end{eqnarray}$ Das heißt für $\begin{eqnarray} (Z_{11}^, \cdot) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \Rightarrow \langle \alpha\rangle = \{1, \alpha, \alpha^2, \alpha^3, \alpha^4, \alpha^5, \alpha^6, \alpha^7, \alpha^8, \alpha^9, \alpha^{10}\} \end{eqnarray}$ - Eine zyklische Gruppe muss immer kommutativ (abelsch) sein. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \alpha^k \cdot \alpha^l = \alpha^{k+l} = \alpha^{l+k} = \alpha^l \cdot \alpha^k \end{eqnarray}$ - Die Gruppe muss einen zyklischen Erzeuger haben. $\begin{eqnarray} \Rightarrow \text{ Erzeuger: } \alpha \end{eqnarray}$ , denn mit der multiplikativen Verknüpfung mit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ kann jede Zahl zyklisch erzeugt werden. Beispiel: $\begin{eqnarray} \alpha^1 \cdot \alpha = \alpha^2, (\alpha^{10} \cdot \alpha) \text{ mod } \alpha^{11} \equiv \alpha^0 = 1 \end{eqnarray}$ Zu meinen Fragen: Ersteinmal bin ich mir nicht sicher ob das reicht, um zu zeigen das die Gruppe zyklisch ist. Außerdem weiß ich nicht was der * am $\begin{eqnarray} \mathbb{Z} \end{eqnarray}$ zu sagen hat und ich habe leider kein blassen Schimmer wie man die Werte mithilfe der zyklischen Gruppe berechnet, denn $\begin{eqnarray} 5^{-1} \cdot \alpha \end{eqnarray}$ ergibt für mich nicht wirklich Sinn. Ich hoffe jemand kann mir helfen. Vielen dank schonmal im voraus.
14.05.2014, 13:40	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zyklische Gruppe Beweis, Werte berechnen hallo, dazu kann ich einiges sagen: mit Z_11 ist die additive gruppe Z/11Z gemeint, mit (Z11,) die zugehörige multiplikative gruppe, da lässt man die 0 weg und hat nur noch 10 elemente. Und wenn (Z11,) zyklisch ist, heisst das, das man jedes element aus dieser gruppe als potenz eines einigen elementes schreiben kann. Mein tip, berechne einfach alle potenzen von 2, wenn das nicht vorzeitig in eine schleife läuft, ist (Z11,) zyklisch. Die einzelnen potenzen kannst du in eine tabelle schreiben und damit dann gleich die geforderten aufgaben ausrechnen. gruss ollie3
14.05.2014, 14:27	Chryb	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du das so? $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c\|c}\underline{\alpha^1} & \alpha^2 & \alpha^4 & \alpha^8 & \alpha^{16 \text{ mod } 11} \equiv \alpha^5 & \alpha^{10} & \alpha^{20 \text{ mod } 11} \equiv \alpha^{9} & \alpha^{18 \text{ mod } 11} \equiv \alpha^7 & \alpha^{14 \text{ mod } 11} \equiv \alpha^3 & \alpha^6 & \alpha^{12 \text{ mod } 11} \equiv \underline{\alpha^1}\end{array} \end{eqnarray}$ Ich hab leider nur noch nicht ganz verstanden wie man das ausrechnen soll. Also Potenzen 1 - 10 in die Tabelle schreiben und dann?
14.05.2014, 14:38	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, nein, das geht so: 2^1=2, 2^2=4, 2^3=8, 2^4=16=5 mod 11, 2^5=2^42=52=-1 mod 11, und so rechnest du alle potenzen bis 2^10, und weil sich nichts wiederholt, kann man mit 2 also die gesamte gruppe (Z11,) erzeugen. Dann kannst du z.B bei 5^-1 sehen, welche 2erpotenz 5 hat und das dann einfacher berechnen. gruss ollie3
14.05.2014, 15:37	Chryb	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ist 2 auch der Erzeuger der Gruppe? Die Tabelle müsste also so aussehen: $\begin{eqnarray} \begin{array}{c\|c\|c\|c}\text{Potenz } i & 2^i & 2^i \text{ mod } 11 & \text{Ergebnis}\\<br /> \hline<br /> 1 & 2^1 & 2 & = 2\\<br /> 2 & 2^2 & 4 & = 4\\<br /> 3 & 2^3 & 8 & = 8\\<br /> 4 & 2^4 & 16 \text{ mod } 11 & \equiv 5\\<br /> 5 & 2^5 & 32 \text{ mod } 11 & \equiv 10\\<br /> 6 & 2^6 & 64 \text{ mod } 11 & \equiv 9\\<br /> 7 & 2^7 & 128 \text{ mod } 11 & \equiv 7\\<br /> 8 & 2^8 & 256 \text{ mod } 11 & \equiv 3\\<br /> 9 & 2^9 & 512 \text{ mod } 11 & \equiv 6\\<br /> 10 & 2^{10} & 1024 \text{ mod } 11 & \equiv 1<br /> \end{array} \end{eqnarray}$ Das heißt also $\begin{eqnarray} 5^{-1} = (2^4)^{-1} = \frac{1}{16} \end{eqnarray}$ ? Und $\begin{eqnarray} \dfrac{3}{7} = \dfrac{2^8}{2^7} \text{ bzw. } \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \dfrac{7^3 + 5^8}{2^3 + 3^8} = \dfrac{2^{7^{2^8}} + 2^{4^{2^3}}}{2^{2^8} + 2^{8^{2^3}}} = \dfrac{2^{7^3} + 2^{4^8}}{2^3 + 2^{8^8}} = \dfrac{2^2 + 2^9}{2^3 + 2^5} \end{eqnarray}$ ?
14.05.2014, 15:53	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, so, die tabelle ist vollständig richtig. Zu den rechnungen: 5^(-1)=2^(-4) , jetzt nutzen wir aus das 2^10=1 ist =2^(-4)*2^10=2^6 , und das ist nach tabelle =9. 3/7=2^8/2^7=2. Bei der letzten aufgabe rechnet man zähler und nenner lieber manuell aus gruss ollie3
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14.05.2014, 16:27	Chryb	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen dank für die Hilfe!

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