Lineare Abbildung,Rang und Dimension

14.05.2014, 21:00

lauraam

Lineare Abbildung,Rang und Dimension

Meine Frage:
Betrachtet werden soll die lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f:\mathbb R^{3} \Rightarrow \mathbb R ^{3}:\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}\Rightarrow \begin{pmatrix} x_1+x_2 \\ 2x_1+x_2+x_3 \\ x_1+x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Hiervon soll der Rang f bestimmt werden und entschieden werden, ob f injektiv oder surjektiv ist. Weiterhin soll eine Basis vom R-VR f[V] angegeben werden.

Meine Ideen:
Zur Bestimmung des Ranges wollte ich den Dimensionsatz nutzen, also dimV=Rangf+dim(ker f)
Dafür habe ich erstmal den Kern bestimmt; $\begin{eqnarray*} kerf:\begin{pmatrix} x_1 \\ -x_1 \\ -x_1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit dimV=3 gilt dann ja Rangf=3-dim(ker f)
Die Dimension des Kernes ist doch 1? Bzw. wie bestimme ich die Dimension i.A?
Mit dim(ker f)=1 wäre der Rang f ja 2 und die Abbildung dann weder injektiv noch surjektiv? Ist das richtig?
Vielen Dank schonmal für eure Mühe!

15.05.2014, 00:22

Helferlein

Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Überlegungen sind grundsätzlich richtig.
Alternativ hätte man das ganze über die Abbildungsmatrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&0\\2&1&1\\1&0&1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ lösen können.

15.05.2014, 17:18

lauraam

Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt denn auch dann das Ergebnis?
Und als mögliche Basis des R-VR f[V] z.B $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

15.05.2014, 18:05

bijektion

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Und als mögliche Basis des R-VR f[V] z.B $\begin{eqnarray*} \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 4 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 5 \\ 8 \\ 3 \end{pmatrix} ,\begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 7 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray*}$ ?

Meinst du damit eine Basis von $\begin{eqnarray*} f(\mathbb{R}^3) \end{eqnarray*}$ , also vom Bild? Du hast doch gezeigt, dass das Bild Dimension 2 hat, wie kann dann eine Basis drei Vektoren enthalten?

Neue Frage »

Antworten »

Lineare Abbildung,Rang und Dimension

Verwandte Themen